Probar que si E ⊆ R es un conjunto medible de medida positiva, entonces para todo 0 < α < 1 existe I ⊆ R tal que αm(I)<=(E ∩ I).

Probar que si E ⊆ R es un conjunto medible de medida positiva, entonces para todo 0 < α < 1 existe un intervalo abierto I ⊆ R tal que α · m(I ) ≤ m(E ∩ I ). Indicacíon: observar en primer lugar que se puede suponer que m(E) < +∞, y aplicar la regularidad de la medida de Lebesgue y el hecho de que todo subconjunto abierto de la recta real se puede expresar como la uníon de una familia numerable de intervalos abiertos disjuntos.

1. Probar que si E ⊆ R es un conjunto medible Lebesgue de medida positiva, entonces existe ε > 0 tal que E − E ⊇ (−ε, ε). Indicacíon: usar el problema anterior con α = 3/4 para obtener un intervalo abierto I ⊆ R tal que 3/4·m(I) ≤ m(E∩I). Si −1/2·m(I) < x < 1/2·m(I) entonces el conjunto (E ∩I)∪((x+(E ∩I)) est́a contenido en un intervalo abierto J ⊆ R tal que m(J) < 3/2·m(I). Suponiendo que los conjuntos E ∩ I, x + E ∩ I son disjuntos se llega a una contradiccíon.