Cambio empresario puede modificar contrato

Estoy trabajando en una escuela deportiva. Ha habido este verano un cambio de empresario.

Hasta ahora mi contrato era como fijo discontinuo y quieren cambiarlo por fijo discontinuo con jornada parcial al 50%. ¿No debería mantenerme el mismo tipo de contrato?

Supongo, que cambiarlo a jornada parcial, afectaría a mis cotizaciones para si tuviera que recibir Prestaciones.

También me solicita firme un contrato de exclusividad (además que me reducen a jornada parcial).