Determine si el conjunto genera a P2

Descarta mi otra pregunta, por favor. Esta no entiendo.

Determine si el conjunto S = { 1, x^2, x^2 + 2 } genera a P2.

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Demasiado tarde, ya la respondí.

P2 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual o dos. Puedes resolver el ejercicio de dos formas.

Sabiendo que P2 tiene dimensión 3 y viendo si esos tres son una base. Para ello deberán ser independientes, pero no lo son ya que el tercero es el segundo más dos veces el primero

x^2 + 2 = x^2 + 2·1

O viendo que hay algún vector de P2 que no se puede generar con esos elementos.

En concreto toma el polinomio x o cualquiera que tenga x o bx con b distinto de 0 en su composición. Vamos a tomar el caso general, un polinomio ax^2+bx+c con b distinto de 0.

ax^2 + bx + c = d·1 + ex^2 + f(x^2+2)

ax^2 + bx + c = d + (e+f)x^2 + 2f

igualando coeficientes de los polinomios surgen tres ecuaciones

a = e+f

b = 0

c = d + 2f

Pero habíamos dicho que b era distinto de 0, luego no hay solución para ese caso y ese polinomio no se puede generar con esos elementos.

Y eso es todo.

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