Problema 4 - sobre Movimiento Tridimensional de un cuerpo rigido - DINAMICA II
problema de cinematica de un cuerpo rígido. B
gracias
EXCELLENTE
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El punto A en metros es (0.5, 0, 0)
EL punto B es (0, 0.6, h) de forma que la distancia es 1.20 m
$$\begin{align}&\sqrt {0.5^2+0.6^2+h^2}=1.20\\&\\&h=\sqrt{1.2^2-0.5^2-0.6^2}=0.9110433579m\\&\\&\text {dentro de t segundos}\\&\\&\vec X_A(t) =(0.5-0.45t, 0,0)\\&\\&\vec X_B(t) = (0,0.6,\sqrt{1.2^2-(0.5-0.45t)^2-0.6^2})\\&\\&\vec {V_B}(t)= \vec {X_B}'(t)=\left(0,0,\frac{0.45t}{\sqrt{1.2^2-(0.5-0.45t)^2-0.6^2}}\right)\end{align}$$Tengo que dejarlo, lo mando sin terminar para que no se pierda el trabajo
Gracias ... pero podría terminarlo
Un saludo
$$\begin{align}& \end{align}$$Hice mal la derivada
$$\begin{align}&\vec {V_B}(t)= \vec {X_B}'(t)=\left(0,0,\frac{0.45(0.5-0.45t)}{\sqrt{1.2^2-(0.5-0.45t)^2-0.6^2}}\right)=\\&\\&\left(0,0,\frac{0.225-0.2025t}{\sqrt{0.83 +0.45t -0.2025t^2}}\right)\\&\\&\text{Ese punto es t=0}\\&\\&|\vec{V_B}(0)|=\frac{0.225}{\sqrt {0.83}}=0.246969585 \,m/s\\&\\&\\&\\&\\&\vec{a_B}(t)=\vec {V_B}'(t)=\\&\\&\left(0,0,\frac{-0.2025 \sqrt{0.83 +0.45t -0.2025t^2}-\frac{(0.225-0.2025t)(0.45-0.405t)}{2 \sqrt{0.83 +0.45t -0.2025t^2}}}{0.83 +0.45t -0.2025t^2} \right)=\\&\\&\\&\left(0,0,\frac{-0.405(0.83 +0.45t -0.2025t^2)-(0.225-0.2025t)(0.45-0.405t)}{2 \sqrt{(0.83 +0.45t -0.2025t^2)^3}} \right)=\\&\\&\\&\left(0,0,\frac{-0.4374}{2 \sqrt{(0.83 +0.45t -0.2025t^2)^3}} \right)\\&\\&\text{Y la acelaración de B en el instante 0 es:}\\&\\&\vec{a_B}(0)=\left(0,0,-0.2892222128\,m/s^2 \right)\end{align}$$Y eso es lo que puedo hacer. La parte de la velocidad y aceleración angular no la tengo clara de momento.
No estoy seguro si lo haré bien. Calcularé el ángulo que forma en cada momento la varilla con el vector (1,0,0) y la derivada de eo será la velocidad angular
Ya vimos que en el instante t
$$\begin{align}&\vec X_A(t) =(0.5-0.45t, 0,0)\\&\\&\vec X_B(t) = (0,0.6,\sqrt{1.2^2-(0.5-0.45t)^2-0.6^2})=\\&(0,0.6, \sqrt{0.83+0.45t-0.2025t^2})\\&\\&\text{El vector AB será}\\&\\&\vec {AB}(t)=(-0.5+0.45t,\;0.6,\;\sqrt{0.83+0.45t-0.2025t^2})\\&\\&\text{El coseno del ángulo con (1,0,0) es el producto escalar}\\&\text{dividido entre los módulos de los vectores}\\&\\&\cos \theta(t)= \frac{-0.5+0.45t}{\sqrt{(-0.5+0.45t)^2+0.6^2+0.83+0.45t-0.2025t^2}}=\\&\frac{-0.5+0.45t}{\sqrt{1.44}}= -0.416666...+0.375t\\&\\&\theta(t) = arcos(-0.416666...+0.375t)\\&\\&w(t)=\theta'(t)=\frac{-0.375}{\sqrt{1-(0.375t-0.416666...)^2}}\\&\\&\text{y en el instante 0 será}\\&\\&w(0)=\frac{-0.375}{\sqrt{1-0.4166...^2}}= -0.4125143237 \,rad/s\\&\\&\text{Y la acelaración angular es la derivada de }w(t)\\&\\&\alpha(t) = \frac {-0.375·(-2)(0.375t-0.416666...)·0.375}{2 \sqrt{\left(1-(0.375t-0.416666...)^2\right)^3}}=\\&\\&\frac{-0.1171874998+0.10546875t}{2 \sqrt{\left(1-(0.375t-0.416666...)^2\right)^3}}\\&\\&\text{Y en el instante 0 es}\\&\\&\alpha(0)= \frac{-0.1171874998}{\sqrt{\left(1-0.416666^2\right)^3}}= -0.1559928112\,rad/s^2\end{align}$$Y como te digo, no tengo ninguna seguridad que esto esté bien, puede fallar porque no se hace de esa forma o por las cuentas si me he equivocado.
