Foto movida

Si la haces bien pero sale un poco oscura, proba el control de compensación de exposición, no se si tu cámara lo tiene ya que no la utiliuce nunca, si tienes esa posibilidad compensando en + o en - podes arreglar ese pelín que te falta
Cuando disparas el flash, el iso de tu cámara baja, por ser automático y por eso no te quedan bien
La única posibilidad de hacer esa foto con flash y captar la luz de la habitación es si tienes la opción de retrato nocturno, algunas cámaras tienen esta función, si no la tienes, con el iso automático es difícil lograrlo

Ufff¡ Que raro que una sony no te funcione con el tema del flash, es una marca que en ese aspecto no suele dar problemas. Me confunde alguna de las cosas que dices y que no acabo de aclarar. Dices que con la lámpara encendida, en interior, te salen las fotos movidas... ¿y qué más da tener la lámpara encendida o no? La luz de una lámpara de techo (imagino) no debería afectarte, el flash tiene la suficiente potencia para iluminar una habitación tengas o no la lámpara encendida y esté donde esté, como mucho anaranjearia un poco la foto, variaría el tono del color de la luz no a su potencia. Lo que me cuentas pasa cuando usas programas específicos de fotografía nocturna que aplicado a interiores no funciona aunque en ambos casos se use flash, una foto en interior puede hacerse con o sin flash y a veces lo confundimos con fotos nocturnas. Luego me comentas que varías la potencia del flash, no se exactamente como lo haces, ¿subes la sensibilidad? Compensas la exposición con el botón +/- ¿Del flash?... ahí no se que decirte por que ando más perdido, si puedes aclararme más igual te ayudo mejor.
De todas maneras pon la cámara en auto, el flash en auto con el símbolo de ojos rojos, olvida de momento programas especiales, muñequitos con esrellitas o lunas que a veces aparecen y por supuesto usa flash por que las fotos sino salen oscuras, como recurso usa sensibilidad mayor, el ASA o el ISO súbelo, si está a 100, ponlo a 200 o 400, incluso a 800ASA (si lo tienes) se pueden hacer fotos sin flash en interior si hay buena luz ambiente.
Como te decía si me ayudas algo más quizás te sea más útil.

Esta claro que la luz de la llama tiene suficiente fuerza como para anularte el flash.
Seguro que con la llama apagada no tendrás ese problema.
Si tienes la posibilidad de utilizar manualmente, o debilitar la llama seria lo ideal.
Colocando algún cristal delante de la llama para que la debilite, seria útil.