Lo primero, tranquila, que los 15 o 16 años no es tarde, ni mucho menos, para empezar a tocar el piano. En esto, como en cualquier cosa, se suele tener más facilidad para aprender cuanto más joven se sea, y lo normal es empezar hacia los 7 años, pero tu edad no es un obstáculo (conozco gente que ha empezado a tocar el piano después de jubilarse, y a menos que tengan un problema de artritis o algo así -que no será tu caso- pueden hacerlo perfectamente),
Lo de los plazos es algo relativo. Para poder tocar como dices, poniendo sentimiento, tienes que tener al menos un mínimo de técnica. Por ejemplo, si tú quieres tocar una frase creciendo, de piano a fuerte, tu técnica tiene que permitirte hacerlo, ya que tienes que poder dar las notas con precisión para cualquier matiz (o sea, no aporrear las fuertes y que se te queden blandas las piano). Pero es posible tocar "bonito" piezas de muy distinto nivel. Puedes tocar el estudio más sencillo del mundo en plan organillo, o dándole vida, y lo mismo ocurre para la obra más complicada. Por tanto, lo que más influye será tu musicalidad, el que sepas qué quieres decir con la música y, como decía, seas capaz de decirlo. Entonces, ¿cuánto tardarás en conseguir que tu música llegue al corazón de la gente? Poco, siempre que lo que toques sea acorde con tu nivel técnico. Si quieres tocar bien la balada número 1 de Chopin podrás tardar diez años (y si la quieres tocar mal, probablemente también); si quieres tocar bien el Para Elisa, en un par de años puedes hacerlo (y mal también).
O sea, que puedes tocar "bonito" prácticamente desde el primer día: lo importante es empezar con cosas fáciles, pero que no por ser fáciles tienen que ser feas o no llegarle a la gente. Se trata de intentar poner sentimiento en todo lo que toques, aunque al principio sean obras sin demasiada enjundia. Y, por lo que dices, no tendrás ningún problema en eso (es una de las ventajas de empezar un instrumento algo más tarde, que tu musicalidad será mejor que cuando tenías 7 años).
Lánzate, que ya te digo que puedes tocar música que diga algo prácticamente desde el principio, y en 4-5 años puedes estar tocando obras más que aceptables.