Luz testigo batería

Tengo un Ford Focus TDdi del 2000 y lo que me está sucediendo es que a los 10 minutos más o menos de arrancar se me enciende la luz del testigo de batería.
La batería es prácticamente nueva, por lo que a priori lo descartaría, pero ¿podría ser un problema del alternador?
¿Podría ser otro el problema?, ya que me extraña que si es el alternador, el testigo no se quede encendido nada más arrancar, sino que lo hace al cabo de unos minutos (y no se apaga hasta que no apago el motor).