No arranca el coche.

Creo que has intentado arrancarlo con un coche con menos potencia y no se hace con él.
Pon una batería nueva. El compresor no tiene a priori nada que ver, y al ser nuevo es posible que tire con más contundencia al activarse pero no tiene ningún misterio su montaje!

Para arrancar ese motor con pinzas te hace falta unos buenos cables, no los que te venden en los super, gasolineras, chinos, etc,... esos solo valen para motores de gasolina pequeños.
Lo del frenazo del compresor puede que sea porque cargaron más gas de la cuenta, de todas maneras si no le das al botón no se conecta, a no ser que este gripado y no deje girar al motor .
Lo primero que yo haría seria poner directamente la batería del otro coche para probar

Prueba poniendo una batería nueva en vez de la ayuda de arranque y cuando el coche tenga batería antes de dar que arranque cierra y abre con el mando a distancia del coche.

Si como dices la batería está totalmente bajo mínimos, seguro que el problema estará en la batería. Si has intentado arranca con unos cable de estos que se venden en las grandes superficies es lógico que no haya podido arrancar, porque estos cable no soportan la intensidad necesaria y provocan una caída de tensión suficiente para que no pueda llegar la ayuda a la batería baja.
Si el motor de arranque y por tanto el motor del coche no gira o lo hace con poca "alegría" seguramente sea un problema de batería.
El tema del compresor de aire no tiene por qué tener relación con el problema del arranque. Si el golpe es excesivo deberías comentarlo para que te lo revise quien te lo ha montado y te dé su opinión.
Lo que habrá que vigilar es si se mantiene un consumo de corriente elevado después de quitar el contacto o si simplemente la batería ha muerto, las baterías son productos perecederos.

Perfectamente puede estar relacionado, si la batería está mala, o la carga del alternador no está bien.
Prueba a arrancarlo con unas pinzas BUENAS, y asegurándote que hacen buen contacto.
Si no hace nada, da las luces y comprueba si al darle al arranque bajan de intensidad.

Andaba de viaje no había abierto mi todo expertos en un rato, puede ser que el alternador este dañado, o alguna de las bobinas de encendido, puede haber relación, solo si alguno de los cableados se realizo mal! Saludos y una disculpa por la tardanza