¿Cómo puedo reparar melamina?

Eso tiene mala solución.
Si cortas con caladora.
Primero: tienes que ponerte una guía, sobre la que apoyar la base de la caladora... para cortarlo recto.
Y segundo: tienes que hacerlo con una sierra especial para melamina(que no astille).. y cortar muy poco a poco, para que no salte la astilla, y el filo dela sierra baje y suba perpendicular al tablero.
¿Solución, ahora, que ya está hecho?... Mala solución. Como mucho.. puedes disimular las astillas. Poniendo masilla, o cera del color de la melamina. Pregunta en la ferretería. Hay mucha variedad de productos y colores.
Pero si el corte no es recto... el canto habrá quedado mal pegado...
Espero haberte ayudado. Si necesitas algo más, no dudes en decirlo.

Yo hago muebles y trabajo bastante con maderas aglomeradas y de mdf melaminadas. Por experiencias les puedo decir que si la caladora no es de buena calidad es posible que corte torcido, y siempre conviene que le pongas una regla o listón guía bien derecha de madera firme o de metal (sujetadas con unas prensas o sargentos al borde de una mesa), todo bien firme y usar unas gafas transparentes de protección y guantes cómodos en lo posible, que como medida de protección sería lo ideal. Es importante elegir bien las hojas de la caladora, porque normalmente un corte mas prolijo lo hacen los dientes mas chicos o mas juntos porque no astillan tanto la madera al cortarla. Si puedes conseguir una sierra circular manual con una buena hoja de unos 40 dientes te aseguro que los cortes salen muy prolijos de las 2 caras de las melaminas y casi no tienes que lijar los bordes.

Con respecto a los bordes astillados hay algunas soluciones si es que primero no puedes sacarle unos milimetros emparejando el corte de las maderas a reparar. Hay masillas para reparar maderas, vienen normalmente de varios tonos de maderas, aunque blanco no he visto. Yo a veces uso enduído plastico para paredes exteriores, ya que al secar queda bien duro. Algunos también usan masilla para autos porque se agarra bien a las maderas y queda bien duro. Lo único para disimular es el color. Para eso creo que no hay otras opciones como la de comprar alguna pinturita al esmalte como las que se usan en modelismo y miniaturas, que por cierto hay infinidad de colores. Para eso si creo que es ideal tener buena vista y saber elegir un tono lo mas parecido posible a la madera que haya que reparar. En lo posible llevar una muestra de la madera a la casa artículos para hobbies.

Otra solución posible, que dependería si los puedes conseguir son los tapacantos de aluminio. A algunos clientes les gusta ese tipo de tapacantos. Son un poco mas costosos que los comunes pre-encolados o los de pvc, pero la gran ventaja que tienen es justamente la de tapar y disimular muy bien los bordes muy astillados y hasta torcidos porque en cada borde bajan apretando la madera unos 2mm. Esa sería una muy buena solución, incluso permite rebajar un poco mas los bordes mal cortados de las aberturas, puertas, cajones, etc. Las que yo uso se pegan con un poco de silicona, que también sirven para nivelar o emparejar las imperfecciones de los cortes.

Una de las soluciones que puedes encontrar es que te suministren canto preencolado de la menos anchura posible, esto no es más que una cantonera que la colocaras con calor (una simple plancha de la ropa te servira)una vez colocado sobre la zona que quieres tapar, la pegas y la parte restante la cortas con un cutter o algo que te sirva para hacerlo,

Creo que es una opción para poder dejar el trabajo bien acabado ya que si nos liamos con pastas termofusibles o siliconas, lo podemos dejar mal.