Lámpara de 6 bombillas que se rompe

Porque se funda una bombilla no tienen que dejar de funcionar las otras (se conectan en paralelo), así que el problema es otro.
¿Has mirado si el circuito que alimenta a esa lámpara tiene algún fusible que se haya fundido? En instalaciones antiguas solía estar junto al interruptor.
Si no es eso es que se ha soltado o fundido algún cable, sino no tiene explicación que de la noche a la mañana no funcione nada.

El problema es que soy negado para el tema de electricidad. Abrí todo el mecanismo del brazo de la lámpara en la que se fundió la bombilla y todo aparentemente estaba ok con respecto a otro brazo de la misma lámpara...
Lo de los fusibles... la verdad que ni me lo había planteado... ese sera mi siguiente paso... (habrá que encontrarlo!) Gracias de todos modos, ya te diré si se soluciono con el tema fusibles!

Animo y ya me contarás.

no encuentro los fusibles... :(

El fusible solía estar junto al interruptor, pero en las instalaciones actuales ya no se pone, porque la instalación se protege con los magnetotérmicos del cuadro general, así que es posible que no lo encuentres porque no está.
¿Has comprobado si llega tensión hasta el punto de luz? Con un polímetro (o multímetro) lo podrías hacer para ver si el problema es de la lámpara o viene de antes.
Si no tienes un polímetro podrías intentar instalar un simple casquillo con una bombilla a ver si funciona.

Uno de los enchufes del dormitorio dejo de funcionar a la misma vez que la lámpara (pusimos anoche el móvil a cargar y tampoco funciona ese enchufe, sin embargo los demás enchufes de la habitación si funcionan...)
¿Puede tener algo que ver que el enchufe también este fastidiado?

Deberías tratar de ir hacia atrás desde donde no funciona para ver donde llega tensión y donde no. Pero no es normal que deje de funcionar el punto de luz y el enchufe.
Parece que la avería sea algo más importante que un simple fusible.
Tendréis que recurrir a un electricista.