Palosantos

Tengo en el jardín de mi casa un árbol frutal que creo que se llama Palosantos y da una fruta llamada Caki. Cuando llega la temporada de la fruta ésta empieza a caer sin control y al ser muy gelatinosa y dulce atrae muchos animalitos y ensucia muchísimo.No me es posible recogerla antes de caer ya que están muy altas. No se si existe la posibilidad de evitar que el árbol produzca la fruta, si es posible, ¿qué tengo que hacer?
Por otro lado es un árbol muy viejo que lleva 10 años sin cuidado alguno y seguramente necesitará una poda. ¿Qué época es la correcta y cómo lo hago?
Muchas gracias y un saludo.
Belén Navarrete