Ejercicio de física para medir las fuerzas auxiliares de las barras sobre un prisma triangular
Hola gilillo, podrías ayudarme con la resolución de este problema .
De antemano te agradecería.
Como es imposible tratar de idear un esquema en este sitio el dibujo te lo envío a tu mail, pero el enunciado va más o menos así:
Considere un prisma triangular cualquiera hecho de barras ubicado en una plano tridimensional y cuyos vértices son A, B, C y DE, siendo DE el único vértice superior y el A(0,0,0), B(5,0,3) y C(6,0,0) las bases. Además existe una fuerza de 10 KN que se ejerce sobre el punto D.¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras AB, BC Y BD?
De antemano te agradecería.
Como es imposible tratar de idear un esquema en este sitio el dibujo te lo envío a tu mail, pero el enunciado va más o menos así:
Considere un prisma triangular cualquiera hecho de barras ubicado en una plano tridimensional y cuyos vértices son A, B, C y DE, siendo DE el único vértice superior y el A(0,0,0), B(5,0,3) y C(6,0,0) las bases. Además existe una fuerza de 10 KN que se ejerce sobre el punto D.¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras AB, BC Y BD?
1 Respuesta
Respuesta de gilillo
1
Como no me mencionas el tipo de material de las barras, creo que podremos suponer que no tiene peso, en cuyo caso solo consideraremos la fuerza de 10KN que se ejerce en DE hacia abajo.
En realidad todo se resume a plantear sumatoria de fuerzas en los 4 puntos y sumatoria de momentos, ¿por conveniencia ésta ultima la haremos con referencia al eje? ¿X?
Designemos AB, AC, AD, BC, BD, y CD las tensiones en las barras. Ahora encontraremos los ángulos entre las barras y los ejes. Sea Tabx, ¿el ángulo de la barra AB contra el eje? ¿X?, y así sucesivamente. Primero calcularemos las longitudes de las barras, sea Lab la lngitud de la barra AB:
Lab = raiz(5^2 + 0^2 + 3^2) = 5.83095
Lac = 6
Lad = raiz(4^2 + 3^2 + 1^2) = 5.099
Lbc = raiz(1^2 + 0^2 + 3^2) = 3.1623
Lbd = raiz(1^2 + 3^2 + 2^2) = 3.7416
Lcd = raiz(2^2 + 3^2 + 1^2) = 3.7416
Ahora para los ángulos tenemos
Cos(Tabx) = 5 / 5.83095 = 0.857493
Cos(Taby) = 0
Cos(Tabz) = 3 / 5.83095 = 0.5145
Cos(Tacx) = 6 / 6 = 1
Cos(Tacy) = 0
Cos(Tacz) = 0
Cos(Tadx) = 4 / 5.099 = 0.78446
Cos(Tady) = 3 / 5.099 = 0.58835
Cos(Tadz) = 1 / 5.099 = 0.196116
Cos(Tbcx) = 1 / 3.1623 = 0.31622
Cos(Tbcy) = 0
Cos(Tbcz) = 3 / 3.1623 = 0.94868
Cos(Tbdx) = 1 / 3.7416 = 0.26726
Cos(Tbdy) = 3 / 3.7416 = 0.801783
Cos(Tbdz) = 2 / 3.7416 = 0.53452
Cos(Tcdx) = 2 / 3.7416 = 0.53452
Cos(Tcdy) = 3 / 3.7416 = 0.801783
Cos(Tcdz) = 1 / 3.7416 = 0.26726
Ahora podemos plantear las sumatoria de fuerzas. ¿Sea Na la fuerza normal en el punto? ¿A?, ¿Nb la fuerza normal en el punto? ¿B?, etc.
SUMA DE FUERZAS EN ?A?:
Para ?X?:
Cos(Tacx)*AC + Cos(Tabx)*AB ? Cos(Tadx)*AD = 0
AC + 0.857493*AB - 0.78446*AD = 0 (i)
Para ?Y?:
Na ? Cos(ady)*AD = 0
Na - 0.58835*AD = 0 (ii)
Para ?Z?:
Cos(Tabz)*AB ? Cos(Tadz)*AD = 0
0.5145*AB - 0.196116*AD (iii)
SUMA DE FUERZAS EN ?B?
Para ?X?:
Cos(Tbcx)*BC + Cos(Tbdx)*BD ? Cos(Tabx)*AB = 0
0.31622*BC + 0.26726*BD - 0.857493*AB = 0 (iv)
Para ?Y?
Nb ? Cos(Tbdy)*BD = 0
Nb - 0.801783*BD (v)
Para ?Z?:
Cos(Tbdz)*BD ? Cos(Tabz)*AB ? Cos(Tbcz)*BX = 0
0.53452*BD - 0.5145*AB - 0.94868*BC = 0 (vi)
SUMA DE FUERZAS EN ?C?
Para ?X?:
Cos(Tcdx)*CD ? Cos(Tacx)*AC ? Cos(Tbcx)*BC = 0
0.53452*CD - AC - 0.31622*BC = 0 (vii)
Para ?Y?:
Nc ? Cos(Tcdy)*CD = 0
Nc - 0.801783*CD = 0 (viii)
Para ?Z?:
Cos(Tbcz)*BC ? Cos(Tcdz)*CD = 0
0.94868*BC - 0.26726*CD = 0 (ix)
SUMA DE FUERZAS EN ?D?
Para ?X?:
Cos(Tadx)*AD - Cos(Tcdx)*CD ? Cos(Tbdx)*BD = 0
0.78446*AD - 0.53452*CD - 0.26726*BD = 0 (x)
Para ?Y?:
Cos(Tady)*AD + Cos(Tbdy)*BD + Cos(Tcdy)*CD ? 10KN = 0
0.58835*AD + 0.801783*BD + 0.801783*CD ? 10KN = 0 (xi)
Para ?Z?:
Cos(Tadz)*AD + Cos(Tcdz)*CD ? Cos(Tbdz)*BD = 0
0.196116*AD + 0.26726*CD - 0.53452*BD = 0 (xii)
También podemos plantear la suma de momentos; ¿Esto lo haremos con respecto al eje? ¿X?, ¿Luego con respecto al eje? ¿Z?, y de esta forma encontraremos las fuerzas normales en A, B y C.
Suma de Momentos con respecto a ?X?:
Nb*(3) ? 10kKN*(1) = 0
Entonces: Nb = 3.3333KN
Suma de Momentos con respecto a ?Z?:
10KN*(4) ? Nb*(5) ? Nc*(6) = 0
Despejando
Nc = ( 40 ? (3.3333)*(5)) / 6
Nc = 3.8888KN
Ahora, como sabesmos que Na + Nb + Nc = 10KN
Na = 10KN ? 3.8888 ? 3.3333
Na = 2.7777KN
Para encontrar AB primero calcularemos AD a partir de (ii)
Na - 0.58835*AD = 0 (ii)
AD = 2.7777 / 0.5835 = 4.76054KN
Ahora a partir de (iii) encontramos AB
0.5145*AB - 0.196116*AD (iii)
AB= 0.19611*(4.76054) / 0.5145
AB= 1.8145KN
Ahora encontramos BD a partir de (v)
Nb - 0.801783*BD = 0 (v)
BD= 3.3333 / 0.801783
BD = 4.1574KN
Finalmente calculamos BC a partir de (vi)
0.53452*BD - 0.5145*AB - 0.94868*BC = 0 (vi)
BC = ( 0.53452*(4.1574) ? 0.5145*(1.8145) ) / 0.94868
BC = 1.3583KN
En realidad todo se resume a plantear sumatoria de fuerzas en los 4 puntos y sumatoria de momentos, ¿por conveniencia ésta ultima la haremos con referencia al eje? ¿X?
Designemos AB, AC, AD, BC, BD, y CD las tensiones en las barras. Ahora encontraremos los ángulos entre las barras y los ejes. Sea Tabx, ¿el ángulo de la barra AB contra el eje? ¿X?, y así sucesivamente. Primero calcularemos las longitudes de las barras, sea Lab la lngitud de la barra AB:
Lab = raiz(5^2 + 0^2 + 3^2) = 5.83095
Lac = 6
Lad = raiz(4^2 + 3^2 + 1^2) = 5.099
Lbc = raiz(1^2 + 0^2 + 3^2) = 3.1623
Lbd = raiz(1^2 + 3^2 + 2^2) = 3.7416
Lcd = raiz(2^2 + 3^2 + 1^2) = 3.7416
Ahora para los ángulos tenemos
Cos(Tabx) = 5 / 5.83095 = 0.857493
Cos(Taby) = 0
Cos(Tabz) = 3 / 5.83095 = 0.5145
Cos(Tacx) = 6 / 6 = 1
Cos(Tacy) = 0
Cos(Tacz) = 0
Cos(Tadx) = 4 / 5.099 = 0.78446
Cos(Tady) = 3 / 5.099 = 0.58835
Cos(Tadz) = 1 / 5.099 = 0.196116
Cos(Tbcx) = 1 / 3.1623 = 0.31622
Cos(Tbcy) = 0
Cos(Tbcz) = 3 / 3.1623 = 0.94868
Cos(Tbdx) = 1 / 3.7416 = 0.26726
Cos(Tbdy) = 3 / 3.7416 = 0.801783
Cos(Tbdz) = 2 / 3.7416 = 0.53452
Cos(Tcdx) = 2 / 3.7416 = 0.53452
Cos(Tcdy) = 3 / 3.7416 = 0.801783
Cos(Tcdz) = 1 / 3.7416 = 0.26726
Ahora podemos plantear las sumatoria de fuerzas. ¿Sea Na la fuerza normal en el punto? ¿A?, ¿Nb la fuerza normal en el punto? ¿B?, etc.
SUMA DE FUERZAS EN ?A?:
Para ?X?:
Cos(Tacx)*AC + Cos(Tabx)*AB ? Cos(Tadx)*AD = 0
AC + 0.857493*AB - 0.78446*AD = 0 (i)
Para ?Y?:
Na ? Cos(ady)*AD = 0
Na - 0.58835*AD = 0 (ii)
Para ?Z?:
Cos(Tabz)*AB ? Cos(Tadz)*AD = 0
0.5145*AB - 0.196116*AD (iii)
SUMA DE FUERZAS EN ?B?
Para ?X?:
Cos(Tbcx)*BC + Cos(Tbdx)*BD ? Cos(Tabx)*AB = 0
0.31622*BC + 0.26726*BD - 0.857493*AB = 0 (iv)
Para ?Y?
Nb ? Cos(Tbdy)*BD = 0
Nb - 0.801783*BD (v)
Para ?Z?:
Cos(Tbdz)*BD ? Cos(Tabz)*AB ? Cos(Tbcz)*BX = 0
0.53452*BD - 0.5145*AB - 0.94868*BC = 0 (vi)
SUMA DE FUERZAS EN ?C?
Para ?X?:
Cos(Tcdx)*CD ? Cos(Tacx)*AC ? Cos(Tbcx)*BC = 0
0.53452*CD - AC - 0.31622*BC = 0 (vii)
Para ?Y?:
Nc ? Cos(Tcdy)*CD = 0
Nc - 0.801783*CD = 0 (viii)
Para ?Z?:
Cos(Tbcz)*BC ? Cos(Tcdz)*CD = 0
0.94868*BC - 0.26726*CD = 0 (ix)
SUMA DE FUERZAS EN ?D?
Para ?X?:
Cos(Tadx)*AD - Cos(Tcdx)*CD ? Cos(Tbdx)*BD = 0
0.78446*AD - 0.53452*CD - 0.26726*BD = 0 (x)
Para ?Y?:
Cos(Tady)*AD + Cos(Tbdy)*BD + Cos(Tcdy)*CD ? 10KN = 0
0.58835*AD + 0.801783*BD + 0.801783*CD ? 10KN = 0 (xi)
Para ?Z?:
Cos(Tadz)*AD + Cos(Tcdz)*CD ? Cos(Tbdz)*BD = 0
0.196116*AD + 0.26726*CD - 0.53452*BD = 0 (xii)
También podemos plantear la suma de momentos; ¿Esto lo haremos con respecto al eje? ¿X?, ¿Luego con respecto al eje? ¿Z?, y de esta forma encontraremos las fuerzas normales en A, B y C.
Suma de Momentos con respecto a ?X?:
Nb*(3) ? 10kKN*(1) = 0
Entonces: Nb = 3.3333KN
Suma de Momentos con respecto a ?Z?:
10KN*(4) ? Nb*(5) ? Nc*(6) = 0
Despejando
Nc = ( 40 ? (3.3333)*(5)) / 6
Nc = 3.8888KN
Ahora, como sabesmos que Na + Nb + Nc = 10KN
Na = 10KN ? 3.8888 ? 3.3333
Na = 2.7777KN
Para encontrar AB primero calcularemos AD a partir de (ii)
Na - 0.58835*AD = 0 (ii)
AD = 2.7777 / 0.5835 = 4.76054KN
Ahora a partir de (iii) encontramos AB
0.5145*AB - 0.196116*AD (iii)
AB= 0.19611*(4.76054) / 0.5145
AB= 1.8145KN
Ahora encontramos BD a partir de (v)
Nb - 0.801783*BD = 0 (v)
BD= 3.3333 / 0.801783
BD = 4.1574KN
Finalmente calculamos BC a partir de (vi)
0.53452*BD - 0.5145*AB - 0.94868*BC = 0 (vi)
BC = ( 0.53452*(4.1574) ? 0.5145*(1.8145) ) / 0.94868
BC = 1.3583KN
