Problema de hidrodinámica¡
Hola que tal, quisiera me echen una mano con este ejercicio, para poder tomarlo de ejemplo para los siguientes, gracias¡
Un grifo tarda en llenar un deposito 30minutos. Dicho deposito se vacía a través de un desagüe en solamente 8minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en vaciarse si al abrir el desagüe con el deposito lleno continuase abierto el grifo que vierte el agua sobre dicho deposito?. Se supone que tanto el caudal de entrada como el de salida son constantes.
Por favor si me podrían explicar las fórmulas y su razón, lo agradecería mucho¡
Gracias...
Un grifo tarda en llenar un deposito 30minutos. Dicho deposito se vacía a través de un desagüe en solamente 8minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en vaciarse si al abrir el desagüe con el deposito lleno continuase abierto el grifo que vierte el agua sobre dicho deposito?. Se supone que tanto el caudal de entrada como el de salida son constantes.
Por favor si me podrían explicar las fórmulas y su razón, lo agradecería mucho¡
Gracias...
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Respuesta de leviatanxxi
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Primero, para entendernos, vamos a llamar "1" a la entrada y "2" a la salida.
Podemos calcular el caudal (tanto de entrada como de salida) dividiendo el volumen entre el tiempo. El volumen será el del depósito; le llamaremos Vr (volumen del recipiente). De esta forma, calcularemos el caudal de entrada sabiendo que llenarlo cuesta 30 min:
C1 = Vr / 30, luego Vr = 30·C1 [ecuación 1]
De igual forma, calculamos el caudal de salida, sabiendo que cuesta vaciar el mismo depósito (luego el volumen será el mismo) 8 min:
C2 = Vr / 8 luego Vr = 8·C2
Como Vr se refierer al mismo volumen, podemos igualarlo:
30·C1 = 8·C2
De donde sacamos la relación entre el caudal de salida y el de entrada:
C2 = 30·C1/8 [ecuación 2]
Ahora llamaremos "t" al tiempo necesario para vaciar el depósito mientras mantenemos el grifo de entrada abierto. Para vaciarlo, será necesario sacar del depósito todo el líquido que ya había (es decir, Vr) más el que haya entrado durante ese tiempo "t". A este volumen adicional le llamaremos Va (volumen añadido). Ahora, como los caudales son constantes, y ese volumen añadido ha pasado por la entrada en un tiempo "t", podemos relacionar ese Va con el caudal de entrada, mediante la fórmula utilizada antes para calcular caudales:
C1 = Va / t, luego Va = C1·t [ecuación 3]
Además, como el caudal de salida también es constante, podemos calcular el tiempo necesario ("t") para sacar TODO el líquido del depósito mediante la fórmula del caudal de salida, teniendo en cuenta que TODO el líquido es Vr + Va:
C2 = (Vr + Va)/t [ecuación 4]
El problema es que tenemos muchas incógnitas, pero podemos reducirlas dando algunos pasos:
1.- En la ecuación 4 sustituiremos Va, utilizando la ecuación 3. De esta forma tendremos que:
C2 = (Vr + Va) / t = (Vr + C1·t) / t
2.- Ahora, sustituímos C2, utilizando la ecuación 2, de manera que obtendremos:
30·C1/8 = (Vr + C1·t) / t
3.- Todavía podemos quitar más incógnitas, si sustituimos Vr por su valor en la ecuación 1:
30·C1/8 = (30·C1+ C1·t) / t
Ahora se trata simplemente de operar:
1.- Productos cruzados en las fracciones:
30·C1·t = (30·C1+ C1·t) · 8
2.- Propiedad distributiva:
30·C1·t = 240C1 + 8·C1·t
3.- Agrupamos y reducimos incógnitas a un lado de la ecuación:
22·C1·t = 240C1
4.- Simplificamos C1 a ambos lados de la igualdad y despejamos t:
t = 240/22 = 10.9 minutos.
Podemos calcular el caudal (tanto de entrada como de salida) dividiendo el volumen entre el tiempo. El volumen será el del depósito; le llamaremos Vr (volumen del recipiente). De esta forma, calcularemos el caudal de entrada sabiendo que llenarlo cuesta 30 min:
C1 = Vr / 30, luego Vr = 30·C1 [ecuación 1]
De igual forma, calculamos el caudal de salida, sabiendo que cuesta vaciar el mismo depósito (luego el volumen será el mismo) 8 min:
C2 = Vr / 8 luego Vr = 8·C2
Como Vr se refierer al mismo volumen, podemos igualarlo:
30·C1 = 8·C2
De donde sacamos la relación entre el caudal de salida y el de entrada:
C2 = 30·C1/8 [ecuación 2]
Ahora llamaremos "t" al tiempo necesario para vaciar el depósito mientras mantenemos el grifo de entrada abierto. Para vaciarlo, será necesario sacar del depósito todo el líquido que ya había (es decir, Vr) más el que haya entrado durante ese tiempo "t". A este volumen adicional le llamaremos Va (volumen añadido). Ahora, como los caudales son constantes, y ese volumen añadido ha pasado por la entrada en un tiempo "t", podemos relacionar ese Va con el caudal de entrada, mediante la fórmula utilizada antes para calcular caudales:
C1 = Va / t, luego Va = C1·t [ecuación 3]
Además, como el caudal de salida también es constante, podemos calcular el tiempo necesario ("t") para sacar TODO el líquido del depósito mediante la fórmula del caudal de salida, teniendo en cuenta que TODO el líquido es Vr + Va:
C2 = (Vr + Va)/t [ecuación 4]
El problema es que tenemos muchas incógnitas, pero podemos reducirlas dando algunos pasos:
1.- En la ecuación 4 sustituiremos Va, utilizando la ecuación 3. De esta forma tendremos que:
C2 = (Vr + Va) / t = (Vr + C1·t) / t
2.- Ahora, sustituímos C2, utilizando la ecuación 2, de manera que obtendremos:
30·C1/8 = (Vr + C1·t) / t
3.- Todavía podemos quitar más incógnitas, si sustituimos Vr por su valor en la ecuación 1:
30·C1/8 = (30·C1+ C1·t) / t
Ahora se trata simplemente de operar:
1.- Productos cruzados en las fracciones:
30·C1·t = (30·C1+ C1·t) · 8
2.- Propiedad distributiva:
30·C1·t = 240C1 + 8·C1·t
3.- Agrupamos y reducimos incógnitas a un lado de la ecuación:
22·C1·t = 240C1
4.- Simplificamos C1 a ambos lados de la igualdad y despejamos t:
t = 240/22 = 10.9 minutos.
