Anónimo
Problema de vectores
La ultimia vez que vi clases de física fue en el año 1982, ahora estoy haciendo un post grado y una de las materias es FÍSICA, a sido algo difícil, pero, bueno, la profesora nos planteo el siguiente problema "si alguien camina cuarenta y cinco Kilómetros (45 Km.) en dirección norte del este, con un angulo de cuarenta y cinco grados (45º); y luego camina sesenta kilómetros (60 Km.) al sur del este, con un angulo de treinta grados (30º) ¿donde estará con respecto al punto de partida?
La pregunta surgió mientras explicaba vectores y que estos podían ser estudiados desde tres puntos de vista, uno gráficamente, otro analíticamente y el tercero geométricamente, y dijo que como pista partiéramos de (0 î, 0 j) es decir del punto cero en el eje cartesiano
La pregunta surgió mientras explicaba vectores y que estos podían ser estudiados desde tres puntos de vista, uno gráficamente, otro analíticamente y el tercero geométricamente, y dijo que como pista partiéramos de (0 î, 0 j) es decir del punto cero en el eje cartesiano
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Respuesta de leviatanxxi
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Imagino que puedes utilizar cualquiera de los tres métodos.
Para resolverlo supondré que al norte del este significa noreste, y que al sur del este significa sureste. También supondré que los ángulos están dados siempre respecto a la horizontal.
De ser así, vamos al primer desplazamiento. Si el ángulo formado es de 45º indica que la trayectoria tiene la misma inclinación hacia el este que hacia el norte, es decir, que sería como dividir un cuadrado (el primer cuadrante del sistema de coordenadas) en dos partes idénticas, mediante una línea que va de un vértice al opuesto, dejando dos triángulos rectángulos.
En cada uno de esos triángulos, los catetos son iguales y la hipotenusa es el espacio que hemos recorrido, es decir, 45 km. Aplicando el teorema de Pitágoras (h^2 = c^2 + c^2) como los catetos miden lo mismo, tenemos que cada cateto mide 31,82 km, lo que significa que desplazarnos 45 kilómetros en dirección noreste es como haber recorrido 31,82 km hacia el norte y luego lo mismo hacia el este.
Ahora, el segundo desplazamiento. Si nos desplazamos hacia el sureste, podemos dibujar el triángulo correspondiente. La hipotenusa sería de nuevo la distancia recorrida. Un cateto sería la distancia en dirección este y otro cateto sería la distancia en dirección sur. De esta forma, la hipotenusa forma un ángulo de 30º con la dirección este (como indique antes, supongo que el ángulo está referido a la horizontal). Si miramos por un momento ese triángulo veremos que la dirección este es el cateto contiguo al ángulo de 30º, mientras que la dirección sur es el cateto opuesto. Esto nos permite aplicar las razones trigonométricas:
seno ángulo = cateto opuesto / hipotenusa = distancia en dirección sur / distancia real recorrida.
Calculamos el seno de 30º con la calculadora, sustituimos en la ecuación y despejamos nuestra incógnita:
distancia en dirección sur =60 km · seno 30º = 30 km.
Hacemos lo propio con el coseno:
coseno ángulo = cateto contiguo / hipotenusa = distancia en dirección este / distancia real recorrida.
Calculamos el coseno de 30º con la calculadora, sustituimos en la ecuación y despejamos nuestra incógnita:
distancia en dirección este =60 km · coseno 30º = 51,96 km.
Recapitulamos:
En el primer movimiento nos hemos desplazado 31,28 km norte y 31,28 km este
En el segundo movimiento nos hemos desplazado 30 km sur (sentido contrario al norte) y 51,96 km este
Luego en total nos hemos desplazado:
31,28 - 30 = 1,28 km norte
31,28 + 51,96 = 83,24 km este
Para resolverlo supondré que al norte del este significa noreste, y que al sur del este significa sureste. También supondré que los ángulos están dados siempre respecto a la horizontal.
De ser así, vamos al primer desplazamiento. Si el ángulo formado es de 45º indica que la trayectoria tiene la misma inclinación hacia el este que hacia el norte, es decir, que sería como dividir un cuadrado (el primer cuadrante del sistema de coordenadas) en dos partes idénticas, mediante una línea que va de un vértice al opuesto, dejando dos triángulos rectángulos.
En cada uno de esos triángulos, los catetos son iguales y la hipotenusa es el espacio que hemos recorrido, es decir, 45 km. Aplicando el teorema de Pitágoras (h^2 = c^2 + c^2) como los catetos miden lo mismo, tenemos que cada cateto mide 31,82 km, lo que significa que desplazarnos 45 kilómetros en dirección noreste es como haber recorrido 31,82 km hacia el norte y luego lo mismo hacia el este.
Ahora, el segundo desplazamiento. Si nos desplazamos hacia el sureste, podemos dibujar el triángulo correspondiente. La hipotenusa sería de nuevo la distancia recorrida. Un cateto sería la distancia en dirección este y otro cateto sería la distancia en dirección sur. De esta forma, la hipotenusa forma un ángulo de 30º con la dirección este (como indique antes, supongo que el ángulo está referido a la horizontal). Si miramos por un momento ese triángulo veremos que la dirección este es el cateto contiguo al ángulo de 30º, mientras que la dirección sur es el cateto opuesto. Esto nos permite aplicar las razones trigonométricas:
seno ángulo = cateto opuesto / hipotenusa = distancia en dirección sur / distancia real recorrida.
Calculamos el seno de 30º con la calculadora, sustituimos en la ecuación y despejamos nuestra incógnita:
distancia en dirección sur =60 km · seno 30º = 30 km.
Hacemos lo propio con el coseno:
coseno ángulo = cateto contiguo / hipotenusa = distancia en dirección este / distancia real recorrida.
Calculamos el coseno de 30º con la calculadora, sustituimos en la ecuación y despejamos nuestra incógnita:
distancia en dirección este =60 km · coseno 30º = 51,96 km.
Recapitulamos:
En el primer movimiento nos hemos desplazado 31,28 km norte y 31,28 km este
En el segundo movimiento nos hemos desplazado 30 km sur (sentido contrario al norte) y 51,96 km este
Luego en total nos hemos desplazado:
31,28 - 30 = 1,28 km norte
31,28 + 51,96 = 83,24 km este