Deducción de ecuaciones de un péndulo simple amortiguado?

Buen día/tarde/noche

Quisiera saber cómo puedo deducir las ecuaciones del movimiento para un péndulo simple sin fricción para ángulo ? (respecto a la posición de equilibrio) menor a los 30° sin necesidad de usar el modelado de un movimiento armónico simple.

En otras palabras: ¿Cómo modelo el mov. Del péndulo sin asumir que se mueve como lo haría un resorte amortiguado? - El péndulo no describe una trayectoria lineal; quiero ser preciso con los cálculos.

Esto es lo que he hecho hasta el momento:

Soy autodidacta así que... ó estoy totalmente perdido, o algo he podido entender.