Ayuda... Led blanco...

Bien una pila de botón te soluciona el problema del espacio, así que si esa es la solución no hay más que decir.
Ahora lo que interesa es el Led.
Teóricamente no se debe de conectar nunca un diodo led directamente a la alimentación para evitar sobrecargarlo y quemarlo, así que deberías de ponerle una resistencia, sin embargo la pila de botón no creo que de la suficiente corriente para quemar el Led, por lo si lo conectas directamente también se ilumine. El problema es que así el dido va a consumir mucho y te va a gastar la pila muy rapido.
Ten en cuenta que para que el led se encienda debe de funcionar dentro del margen especificado. Así que si necesitas 20mA para encenderlo (bueno y 3.5v pero con 3 creo que también se encenderá) intenta limitar la corriente que pas por el diodo con alguna resistencia, puedes calcularlo con R=V/A=150 ohm, para tener un poco de más luz bajale un poco, a 100 por ejemplo. (Marrron negro marrón)

Si El led blanco consume 20mA y la circuitería adicional es poco puedes usar sin problema la pila de litio que mencionas sin embargo estas pilas se usan por lo general para sistemas de respaldo en caso de corte de la fuente principal de alimentación. Podrías probar con pilas recargables, haces una inversión inicial en el cargador pero con el tiempo recuperas la inversión.
Si colocas una resistencia en serie con el led haces que el circuito consuma más corriente, por lo general se requiere cunado la alimentación es de 5v o más para evitar sobrepasar el voltaje de funcionamiento del diodo de 3v.
Espero haberte ayudado
Att
Ing Jorge Higuera
Bucaramanga Colombia

El problema es que el led blanco consume demasiada corriente, ademas con una pila CR2032 no te es suficiente para excitarlo, como mínimo son 3.4V, depende del tamaño que tengas para las pilas puedes colocar 2 2032 una arriba de la otra y colocar una resistencia de 1K para limitar corrienete, otra opción seria 4 pilas LR44 que son las chicas de 1.5V con la misma resistencia.
La autonomía tendrías que probarla, tal vez puedas colocar una resistencia más grande para aumentar el tiempo de uso.
Un consejo seria que utilices un Led Amarillo o si no es molestia uno rojo, consigues uno de alta luminosidad que lo puedes encender con 0.5 Miliamperes, eso si que te duraría mucho tiempo o si te animas a algo de electrónica puedes hacer un circuito destellante, así alargas bastante la vida útil de las pilas.
Cualquier duda me consultas.

Pues si la pila da 225mAh quiere decir que dando 225mA dura 1 hora. Pues si en vez de dar 225mA da 22.5mA (diez veces menos), durara 10 horas (diez veces más).
Para alargar la cantidad de horas de duración, puedes probar con poner más de 1 pila en paralelo. Pero para ir bien, las pilas tienen que estar cargadas más o menos igual. Con 2 pilas iguales, la duración será el doble, ya que tienes 450mAh (2x225mAh).

Para encender el Led necesitas aproximadamente un poco más de 3.5 volts, entonces no se si la batería vaya a servir.
Existen baterías de más voltaje que también son pequeñas.
Para lo de la corriente necesitas un divisor de corriente porque con una sola resistencia solo disminuís el voltaje pero la corriente es la misma. Entonces haces un divisor de corriente con dos resistencias, una para el led, y la otra para tierra de forma que la corriente se divida.

Puedes hacer lucir el led directamente con la pila sin usar resistencia, pues soporta de sobra la tensión de 3V. Sobre la duración de la carga en la pila con el led encendido no te puedo indicar nada, (no se en principio cuanto tiempo necesitas tenerlo encendido), pero supongo que puede aguantar unas diez horas continuas.
Ya veo que por razones de espacio necesitas utilizar pilas de botón.
Si necesitas algo más coméntamelo, si quieres explicame que es lo que estas haciendo y a lo mejor podemos encontrar otras soluciones.