Lenguajes imprescindibles

Sin duda la mayoría diría c++ pero los lenguajes dependen de la aplicación que desees y del entorno de ejecución, recomiendo C ya que de ahí se derivan c++ c# (.net), java etc.

Los lenguajes de programación que han tomado mayor fuerza últimamente son Java (tiene 3 vertientes para aplicaciones web, para programación de móviles y aparatos electrónicos en general y el java para desarrollo de sistemas), por otro lado también esta la suite de microsoft visual basic.net y uno muy utilizado para el desarrollo de páginas web dinámicas es php.
En términos generales te diría que también depende de cuál sea el área que más te llame la atención (desarrollo de sistemas, programación orientada a la web) para que así te enfoques en un ramo en específico. Los programas que te menciono no son los únicos, pero si de los más usados.
Existen otras alternativas como Pearl, Phyton, Javascript (hermano menor de java, usado del lado del cliente, buen complemento para los programas con tecnología de servidor como JSP, ASP y PHP).
Te recomiendo que antes de meterte de lleno a algún si tengas bien las bases de diseño de algoritmos, porque es la base para poder enfocarse en algún lenguaje de programación.
P.D. En mi opinión los lenguajes mencionados son los que tienen más fuerza ahorita.

Mmm pregunta muy curiosa, eso depende a que orientación de programación te inclines más, yo te recomendaría así como su nombre lo dice, visual basic que es un lenguaje orientado a eventos, también java que es un lenguaje orientado a objetos o llamado poo c++ y algo que no es precisamente algo muy de programación pero muy útil en el desarrollo de aplicaciones es asp., php y sql

La idea no es aprender un # concreto de lenguajes, la idea es estudiar los paradigmas de programación. Una vez tienes claros los conceptos de cada paradigma, programar para un lenguaje concreto "únicamente" es el tiempo que le dediques a ese lenguaje.
Hay 3 principales paradigmas, Imperativo, Orientación a objetos y funcional. Quitando el funcional que no lo vas a usar nunca en entornos de trabajo, pero puede ser que sí en investigación, los principales lenguajes de Imperativo son: Pascal, C, Basic, Java y PHP(version 4 hacia atrás), y de orientación a objetos: Java, PHP(versión 5 hacia adelante), C++, C#... sobre esto tienes unos enlaces aquí:
http://es.wikipedia.org/wiki/Programación_imperativa
http://es.wikipedia.org/wiki/Programación_orientada_a_objetos
Yo programo en Java y tiene muchísima salida laboral, es un lenguaje que está en auge en este mundo. Como los "imprescindibles" yo te recomendaría que aprendieras a usar C, y el paradigma imperativo primero. Cuando domines éste paradigma y C, estudiante paradigma de orientación a objetos, si C te ha gustado sigue con C++, si consideras los punteros un rollazo pásate a Java o C#.
Si tienes más dudas no dudes en preguntar :)

c, java, html, php, asp, .net

Para aprender a programar (en general) se debería estudiar algoritmia y no un lenguaje de programación en concreto. Si estudias un lenguaje en concretos, aprenderás a programar en ese lenguaje pero ni aprenderás a programar "en general" ni, seguramente, te servirá para otros lenguajes.
Los especialistas como tú los llamas son especialistas en un único lenguaje, nadie utiliza varios lenguajes a la vez.
Los lenguajes más "importantes" podrían ser Java, C/C++ y Visual Basic o .Net.

Para la programación de aplicaciones, actualmente se usa mucho Java J2EE, C++, y SQL.
Mi recomendación es aprender Java porque es libre y abarco muchos campos. Aprender Java es un reto continúo, por lo que, antes de meterte en más barcos, si eres capaz de abordar y entender Java J2EE y SQL (bases de datos), ya tendrás una muy buena posición de mercado.
Te recomiendo también que entiendas XML, HTML, CSS y JavaScript. Pero vete despacito...