El cuadrilatero bicentrico

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En el cuadrilátero bicéntrico, es decir el que esta inscripto en un circunferencia y circunscripto en otra, la relación entre el inradio, el circunradio y la distancia entre los centros esta dada por la fórmula de Fuss:
1/r^2 = 1/(R + d)^2 + 1/(R - d)^2 (1)
En el segundo miembro el denominador comúnes es el producto:
(R + d)^2 . (R - d)^2=[(R + d) .(R - d)]^2 = (R^2 - d^2)^2
En el numerador queda la suma
(R - d)^2+(R - d)^2 = R1^2 +2 rd +d^2 +R1^2 -2 rd + d^2= 2 R^2 + 2 d^2
y entonces la (1) queda:
1/r^2 = (2 R^2 + 2 d^2)/(R^2 - d^2)^2
(R^2 - d^2)^2= (2 R^2 + 2 d^2) r^2 (2)
Ahora expandiendo el cuadrado del primer miembro es:
R^4 - 2 R^2 .d^2 + d^4 = 2 R^2 r^2 + 2 d^2 r^2
Que es una ecuación bicuadrada en d.
Agrupando tenemos:
d^4 - 2 (R^2+r^2).d^2 +R^4 -2 R^2 r^2 = 0
Y resolviendo la bicuadrada queda :
d^2 = (R^2+r^2)+[(R^2+r^2)^2- R^4 + 2 R^2 r^2]^(1/2)
Expandiendo el cuadrado dentro de la raíz R^4 se cancela y queda
d^2 = (R^2+r^2)+[2 R^2 r^2 + r^4 + 2 R^2 r^2]^(1/2)
d^2 = (R^2+r^2)+[ 4 R^2 r^2 + r^4]^(1/2)
Se ve que el factor r^2 sale fuera de la raíz y resulta;
d^2 = (R^2+r^2) + r [ 4 R^2 + r^2]^(1/2) (3)
Supongo esa era tu duda.
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Para construir la circunferencia inscripta dada la circunferencia circunscripta con regla y compás hace falta expresar d como media geométrica de dos valores y para eso se suele dar a d la expresión :
d^2 = [ (4R^2 + r^2)^(1/2) + 3 r] [(4R^2 + r^2)^(1/2) + r]/4
Desarrollando el producto se llega que es equvalente a la (1),(2) y (3).