Anónimo
Demostraciones de divisibilidad de enteros! HELP
De verdad necesito mucha ayuda con estos ejercicios... Tengo examen en unos días, les agradecería muchísimo si alcanzan a resolver. Se tratan de demostrar propiedades en el campo de divisibilidad de enteros, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
1) ¿Probar qué si n? Z, entonces los números 2n + 1 y n(n + 1) /2 son coprimos
2) ¿Probar qué para todo n? Z, n² + 2 no es divisible por 4
3) Probar que si (a,4)= 2 y (b,4)= 2 entonces (a + b, 4) = 4
4) Probar que si a, b son coprimos entonces (a + b; a - b) = 1 ó 2
5) Probar que si d es un divisor com´un de a y b, entonces:
(I) (a,b) / d = ( (a/d) , (b/d) )
(II) [a,b] / d = [ (a/d) , (b/d) ]
6) Dado un entero a, a ?= 0, hallar (0,a)
7) Probar que el producto de cuatro enteros consecutivos es divisible por 24
8) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a + b; 4) = 4
POR favor, AYUDA
1) ¿Probar qué si n? Z, entonces los números 2n + 1 y n(n + 1) /2 son coprimos
2) ¿Probar qué para todo n? Z, n² + 2 no es divisible por 4
3) Probar que si (a,4)= 2 y (b,4)= 2 entonces (a + b, 4) = 4
4) Probar que si a, b son coprimos entonces (a + b; a - b) = 1 ó 2
5) Probar que si d es un divisor com´un de a y b, entonces:
(I) (a,b) / d = ( (a/d) , (b/d) )
(II) [a,b] / d = [ (a/d) , (b/d) ]
6) Dado un entero a, a ?= 0, hallar (0,a)
7) Probar que el producto de cuatro enteros consecutivos es divisible por 24
8) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a + b; 4) = 4
POR favor, AYUDA
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1 respuesta
Respuesta de diodo1234
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8) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a + b; 4) = 4
Si (a, 4)=2 Entonces a = 2n y ademas n es impar porque si n fuese par (2n,4)= 4 igual para b = 2m con m impar Entonces a+b = 2n + 2m con n y m impar por lo que n+m es par por lo que n+m=2r. a+b = 2n + 2m = 2(n+m)=2*2r =4r por tanto (a+b,4)=4
Mañana sigo que es tarde.
8) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a + b; 4) = 4
Si (a, 4)=2 Entonces a = 2n y ademas n es impar porque si n fuese par (2n,4)= 4 igual para b = 2m con m impar Entonces a+b = 2n + 2m con n y m impar por lo que n+m es par por lo que n+m=2r. a+b = 2n + 2m = 2(n+m)=2*2r =4r por tanto (a+b,4)=4
Mañana sigo que es tarde.
3) Probar que si (a,4)= 2 y (b,4)= 2 entonces (a + b, 4) = 4
Es lo mismo que 8
Es lo mismo que 8
7) Probar que el producto de cuatro enteros consecutivos es divisible por 24
n, n + 1, n + 2, n + 3
Entre dos números pares consecutivos uno es divisible por 2 y otro lo es por 4, y su producto divisible por 8
Ahora sean los tres números consecutivos n, n + 1, n + 2 por ser consecutivos unos de ellos será divisible entre 3
Por tanto n*( n + 1)*(n + 2)*(n + 3) divisble por 3 y 8 entonces por 24
n, n + 1, n + 2, n + 3
Entre dos números pares consecutivos uno es divisible por 2 y otro lo es por 4, y su producto divisible por 8
Ahora sean los tres números consecutivos n, n + 1, n + 2 por ser consecutivos unos de ellos será divisible entre 3
Por tanto n*( n + 1)*(n + 2)*(n + 3) divisble por 3 y 8 entonces por 24
2) ¿Probar qué para todo n? Z, n² + 2 no es divisible por 4
Si n es impar n² es impar + 2 impar no es divisible por 4
Si n es par n² es divisible por 4 y no hay dos pares consecutivos divisibles por 4
Si n es impar n² es impar + 2 impar no es divisible por 4
Si n es par n² es divisible por 4 y no hay dos pares consecutivos divisibles por 4
6) Dado un entero a, a ?= 0, hallar (0,a)
Todo número entero a es divisor de cero pues a*0=0
Entonces el máximo común divisor sera a
Todo número entero a es divisor de cero pues a*0=0
Entonces el máximo común divisor sera a
4) Probar que si a, b son coprimos entonces (a + b; a - b) = 1 ó 2
a=q1*...*qn
b=p1*...*pn
qi != pi coprimos
si r divide a a + b y r/ a-b entonces r divide a (a+b) + (a-b)= 2a y (a+b) - (a-b) = 2b por tanto como a y b son coprimos
r divide a 2a y 2b solo si r dicide a 2 por tanto r es 1 o 2
a=q1*...*qn
b=p1*...*pn
qi != pi coprimos
si r divide a a + b y r/ a-b entonces r divide a (a+b) + (a-b)= 2a y (a+b) - (a-b) = 2b por tanto como a y b son coprimos
r divide a 2a y 2b solo si r dicide a 2 por tanto r es 1 o 2
1) ¿Probar qué si n? Z, entonces los números 2n + 1 y n(n + 1) /2 son coprimos
No lo consigo
5) Probar que si de es un divisor com´un de a y b, entonces:
(I) (a,b) / d = ( (a/d) , (b/d) )
(II) [a,b] / d = [ (a/d) , (b/d) ]
Creo que debes demostrar las igualdades demostrando <= y >=
Igual no puedo mirarlo hasta mañana. Lo siento.
No lo consigo
5) Probar que si de es un divisor com´un de a y b, entonces:
(I) (a,b) / d = ( (a/d) , (b/d) )
(II) [a,b] / d = [ (a/d) , (b/d) ]
Creo que debes demostrar las igualdades demostrando <= y >=
Igual no puedo mirarlo hasta mañana. Lo siento.