Sucesión
Hola! Este es un problemilla que me han mandado y no lo entiendo muy bien: Un hotel tiene infinitas plazas es decir después de una siempre hay otra y están todas ocupadas. ¿Cómo arias para meter un numero infinito de personas que quieren alojarse? La solución se haya mediante una sucesión. Aber si alguien lo puede resolver y explicármelo un pocquillo por favor. Muchas gracias. Un saludo
Respuesta de eudemo
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David Hilbert, gran matemático alemán (1842-1943), ideó esta paradoja para ilustrar lo que ocurre con los conjuntos que tiene infinito número de elementos. Precisamente por ser una paradoja no pretendamos entenderla completamente, solo interpretar en qué consiste.
Dos conjuntos tiene el mismo numero de elementos cuando puedo establecer una correspondencia (biunívoca) entre ellos.
Un ejemplo:
Supongamos el conjunto de personas
A={Juan , Pedro , Luis}
y el conjunto {1,2,3}
Ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos porque puedo establecer una correspondencia biunívoca entre ambos:
A Juan le corresponde el 1
A Pedro el 2
A Luis el 3
****************
Puede ocurrir que tengamos un conjunto con infinitos elementos y que yo pueda establecer una correspondencia biunívoca con los naturales {1,2,3,4,5...}.
Por ejemplo dado el conjunto de los números negativos {-1,-2,-3,-4,-5...} puedo establecer una correspondencia con los naturales.
Así
al -1 le corresponde el 1
al -2 le corresponde el 2
al -3 le corresponde el 3
Y así siguiendo.
Evidentemente tengo todos los negativos asignados a algún natural. Para cada número negativo (huésped) hay uno positivo (habitación).
Resulta que si hago la asignación de esta nueva forma
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 3
al -3 le corresponde el 4
Nuevamente tengo todos los negativos asignados y además me queda el uno libre para ser asignado a algún otro elemento que se agregue.
Supongamos que asigno de esta manera
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 4
al -3 le corresponde el 6
Etc.
Estoy haciendo una correspondencia entre los enteros negativos y los positivos pares. Esto es paradójico porque uno podría pensar que como los pares son un subconjunto de los enteros hay más enteros que enteros pares . Si embargo el hecho de que yo pueda establecer la correspondencia (biunívoca) entre ambos revela que no es así. Lo que ocurre es que ambos son infinitos. El infinito no se comporta como un numero. Así la correspondencia
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 4
al -3 le corresponde el 6
etc
Le da una habitación a todos los negativos usando solo los pares y me quedan todos los impares para asignar (alojar) infinitos números más.
Es decir que en nuestro hotel de infinitas habitaciones {1,2,3,4,5...} donde están todas ocupadas siempre puedo reordenar a los huéspedes para dar lugar a infinitos huéspedes más.
No es necesario intentar comprender totalmente lo que ocurre. Lo importante es percibir que el infinito no se comporta como un numero más.
Dos conjuntos tiene el mismo numero de elementos cuando puedo establecer una correspondencia (biunívoca) entre ellos.
Un ejemplo:
Supongamos el conjunto de personas
A={Juan , Pedro , Luis}
y el conjunto {1,2,3}
Ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos porque puedo establecer una correspondencia biunívoca entre ambos:
A Juan le corresponde el 1
A Pedro el 2
A Luis el 3
****************
Puede ocurrir que tengamos un conjunto con infinitos elementos y que yo pueda establecer una correspondencia biunívoca con los naturales {1,2,3,4,5...}.
Por ejemplo dado el conjunto de los números negativos {-1,-2,-3,-4,-5...} puedo establecer una correspondencia con los naturales.
Así
al -1 le corresponde el 1
al -2 le corresponde el 2
al -3 le corresponde el 3
Y así siguiendo.
Evidentemente tengo todos los negativos asignados a algún natural. Para cada número negativo (huésped) hay uno positivo (habitación).
Resulta que si hago la asignación de esta nueva forma
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 3
al -3 le corresponde el 4
Nuevamente tengo todos los negativos asignados y además me queda el uno libre para ser asignado a algún otro elemento que se agregue.
Supongamos que asigno de esta manera
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 4
al -3 le corresponde el 6
Etc.
Estoy haciendo una correspondencia entre los enteros negativos y los positivos pares. Esto es paradójico porque uno podría pensar que como los pares son un subconjunto de los enteros hay más enteros que enteros pares . Si embargo el hecho de que yo pueda establecer la correspondencia (biunívoca) entre ambos revela que no es así. Lo que ocurre es que ambos son infinitos. El infinito no se comporta como un numero. Así la correspondencia
al -1 le corresponde el 2
al -2 le corresponde el 4
al -3 le corresponde el 6
etc
Le da una habitación a todos los negativos usando solo los pares y me quedan todos los impares para asignar (alojar) infinitos números más.
Es decir que en nuestro hotel de infinitas habitaciones {1,2,3,4,5...} donde están todas ocupadas siempre puedo reordenar a los huéspedes para dar lugar a infinitos huéspedes más.
No es necesario intentar comprender totalmente lo que ocurre. Lo importante es percibir que el infinito no se comporta como un numero más.
Hola
Muchas gracias. Me has ayudado mucho ya solo tengo una duda más. ¿Cuándo dices una "aplicación biunívoca" te refieres a una aplicación biyectiva (conjunto original tiene los mismo elementos que el conjunto final)? ¿Es lo mismo una que otra?
Saludos.
Muchas gracias. Me has ayudado mucho ya solo tengo una duda más. ¿Cuándo dices una "aplicación biunívoca" te refieres a una aplicación biyectiva (conjunto original tiene los mismo elementos que el conjunto final)? ¿Es lo mismo una que otra?
Saludos.
Muchas gracias. Una respuesta genial. Ya lo tengo más claro.
Si, biunívoca o biyectiva es lo mismo. Es la correspondencia uno a uno.
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de rzimmerman
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Este problema puede razonarse del siguiente modo. Suponiendo la situación que planteas pero en que la cantidad de personas que arriban al hotel es finita, digamos que llega una persona, en ese caso, una posible solución sería correr a cada uno de los huéspedes a la habitación siguiente. Es decir, quien estaba en la habitación uno pasa a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente. Al ser habitaciones infinitas, siempre existe una habitación siguiente y todos tienen una habitación asociada que no deben compartir con nadie.
Análogamente, en el caso en que la cantidad de nuevos huéspedes sea infinita, podría plantearse que cada persona que ya estaba en el hotel pase a la habitación cuyo número corresponde al doble del número de habitación en la que estaba. De ese modo, todos las personas que ya estaban en el hotel pasarían a ocupar las habitaciones de numeración par y quedarían liberadas las impares (que también son infinitas). Éstas últimas pasarían a ser ocupadas por los recién llegados.
El problema se basa en que tanto el conjuntos de números naturales como los conjuntos de pares e impares son infinitos de igual cardinal. Esto significa que se puede establecer una relación unívoca entre cada elemento del conjunto de naturales con un par (o impar). Es decir, serían ambos conjuntos infinitos con igual cantidad de elementos. Esto no ocurre entre los naturales y los reales, por ejemplo.
Análogamente, en el caso en que la cantidad de nuevos huéspedes sea infinita, podría plantearse que cada persona que ya estaba en el hotel pase a la habitación cuyo número corresponde al doble del número de habitación en la que estaba. De ese modo, todos las personas que ya estaban en el hotel pasarían a ocupar las habitaciones de numeración par y quedarían liberadas las impares (que también son infinitas). Éstas últimas pasarían a ser ocupadas por los recién llegados.
El problema se basa en que tanto el conjuntos de números naturales como los conjuntos de pares e impares son infinitos de igual cardinal. Esto significa que se puede establecer una relación unívoca entre cada elemento del conjunto de naturales con un par (o impar). Es decir, serían ambos conjuntos infinitos con igual cantidad de elementos. Esto no ocurre entre los naturales y los reales, por ejemplo.