Hallar ecuación de una curva con sus valores
Necesito hallar la ecuación(sé que será de tercer grado) de una curva a partir de una tabla de sus valores, es decir de una tabla donde tengo varios valores de su dominio y sus respectivas imágenes.
Respuesta
1
El método típico es el de mínimos cuadrados, que optimiza la varianza del error. Sea N el numero de valores de la tabla, Xi los valores del dominio y Yi los valores las imágenes en la la otra variable. Se obtendrá un polinomio:
A0 + A1*x + A2*x^2 + A3*x^3.
Para ello hay que resolver un sistema lineal de ecuaciones. Sea M0 la suma de los Xi^0, es decir, N. M1 la suma de los X^i. M2 la suma de sus cuadrados, M3 la suma de sus cubos, M4 la suma de sus potencias cuartas, M5 la de sus potencias quintas, y M6 la de sus potencia sextas. Estos serán los valores de la matriz. Los valores independientes son: B1 es la suma de los Yi, B2 la suma de los productos Xi*Yi, B3 la de los productos Xi^2*Yi, y B4 la de los Xi^3*Yi.
La matriz del sistema es entonces:
M0 M1 M2 M3
M1 M2 M3 M4
M2 M3 M4 M5
M3 M4 M5 M6
Por ejemplo, la segunda ecuacion tiene que ser:
M1*A0 + M2*A1 + M3*A2 + M4*A3 = B2
A0 + A1*x + A2*x^2 + A3*x^3.
Para ello hay que resolver un sistema lineal de ecuaciones. Sea M0 la suma de los Xi^0, es decir, N. M1 la suma de los X^i. M2 la suma de sus cuadrados, M3 la suma de sus cubos, M4 la suma de sus potencias cuartas, M5 la de sus potencias quintas, y M6 la de sus potencia sextas. Estos serán los valores de la matriz. Los valores independientes son: B1 es la suma de los Yi, B2 la suma de los productos Xi*Yi, B3 la de los productos Xi^2*Yi, y B4 la de los Xi^3*Yi.
La matriz del sistema es entonces:
M0 M1 M2 M3
M1 M2 M3 M4
M2 M3 M4 M5
M3 M4 M5 M6
Por ejemplo, la segunda ecuacion tiene que ser:
M1*A0 + M2*A1 + M3*A2 + M4*A3 = B2