Ecuación algebraica
Estimados compañeros,
Desearía plantearles una cuestión relativa a la búsqueda de una solución analítica para una ecuación. En mi área de trabajo que es ingeniería química estamos desarrollando un modelo y los equilibrio fisicoquímicos me han llevado a necesitar resolver la ecuación algebraica que te indicaré a continuación. Hasta ahora no he sido capaz de encontrar su solución analítica y creo que no es posible, actualmente lo hago numéricamente (por Newton-Rapson) pero nos consume mucho tiempo de computación. Desearía una opinión experta en matemáticas.
El problema es encontrar las raíces de la función F(x), donde F es de la forma:
a + b*x/(c+x) + una serie de 6 términos de la forma; ...+ d*x/(e+x)+ ....
donde a, b, c, d, e son parametros conocidos y reales.
Podrían indicarme si piensas que existe una solución analítica para las raíces o lo descarto totalmente y tomo por otro camino.
Si existe la solución y me la facilitasen o donde encontrarla, seria por supuesto estupendo.
Muchas gracias de antemano.
Desearía plantearles una cuestión relativa a la búsqueda de una solución analítica para una ecuación. En mi área de trabajo que es ingeniería química estamos desarrollando un modelo y los equilibrio fisicoquímicos me han llevado a necesitar resolver la ecuación algebraica que te indicaré a continuación. Hasta ahora no he sido capaz de encontrar su solución analítica y creo que no es posible, actualmente lo hago numéricamente (por Newton-Rapson) pero nos consume mucho tiempo de computación. Desearía una opinión experta en matemáticas.
El problema es encontrar las raíces de la función F(x), donde F es de la forma:
a + b*x/(c+x) + una serie de 6 términos de la forma; ...+ d*x/(e+x)+ ....
donde a, b, c, d, e son parametros conocidos y reales.
Podrían indicarme si piensas que existe una solución analítica para las raíces o lo descarto totalmente y tomo por otro camino.
Si existe la solución y me la facilitasen o donde encontrarla, seria por supuesto estupendo.
Muchas gracias de antemano.
Respuesta de grillin
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Veo tu ecuación, y el método de newton es lo más apropiado para tener una solución numérica practica. Me extraña que demore demasiado ese método, porque Newton es un método con orden de convergencia 2, es decir, en cada iteración del método ganas 2 dígitos correctos de la solución (aproximadamente), el único problema que presenta este método es que puede n converger si la aproximación inicial de la raíz esta lejos de la raíz verdadera.
Ahora pasemos al aspecto analítico. Así como se ve, y haciendo algunos pases algebraicos, la raíz debería ser la solución de un polinomio de grado 7 y eso siempre tiene solución en los complejos (quizás vos quieres raíces reales). Claro, no hay una fórmula que te diga como es, solo sabemos que existe.
Ahora bien, hay un teorema en matemática que dice que no hay fórmula general para despejar raíces de un polinomio de grado mayor que 5, de la manera en que resolvemos una ecuación cuadrática. Pero si los coeficientes ayudan, se puede despejar. Lo que debería saber es quien es a, b, c, etc.
Mi consejo es:
1) Mediante búsquedas de cambios de signo, localiza las raíces reales (aproximadamente), pon eso como punto inicial en newton, y listo, debería funcionar muy rapido.
2) Intenta usar algún otro método, como por ejemplo, biseccion, (siempre necesitaras acotar la raíz en un intervalo)
3) Analiza los coeficientes a, b, c, etc para saber si tienes suerte y se puede despejar x. Si no tienes idea de los coeficientes, salvo que son dato, olvidate de encontrar una fórmula analítica, lo veo muy difícil.
Ahora pasemos al aspecto analítico. Así como se ve, y haciendo algunos pases algebraicos, la raíz debería ser la solución de un polinomio de grado 7 y eso siempre tiene solución en los complejos (quizás vos quieres raíces reales). Claro, no hay una fórmula que te diga como es, solo sabemos que existe.
Ahora bien, hay un teorema en matemática que dice que no hay fórmula general para despejar raíces de un polinomio de grado mayor que 5, de la manera en que resolvemos una ecuación cuadrática. Pero si los coeficientes ayudan, se puede despejar. Lo que debería saber es quien es a, b, c, etc.
Mi consejo es:
1) Mediante búsquedas de cambios de signo, localiza las raíces reales (aproximadamente), pon eso como punto inicial en newton, y listo, debería funcionar muy rapido.
2) Intenta usar algún otro método, como por ejemplo, biseccion, (siempre necesitaras acotar la raíz en un intervalo)
3) Analiza los coeficientes a, b, c, etc para saber si tienes suerte y se puede despejar x. Si no tienes idea de los coeficientes, salvo que son dato, olvidate de encontrar una fórmula analítica, lo veo muy difícil.
