Recta tangente
Un coche se desplaza por una carretera en forma de parábola con vértice en el origen. El
coche inicia el viaje en un punto situado a 100 m al oeste y 100 m al norte del origen, y viaja
en dirección este. Hay un monumento situado 100 m al este y 50 m al norte del origen. ¿En
qué punto de la carretera estará el coche cuando ilumine el monumento con los faros?
coche inicia el viaje en un punto situado a 100 m al oeste y 100 m al norte del origen, y viaja
en dirección este. Hay un monumento situado 100 m al este y 50 m al norte del origen. ¿En
qué punto de la carretera estará el coche cuando ilumine el monumento con los faros?
1 respuesta
Respuesta de jpenedol
1
La ecuación de la parábola que pasa por el origen es ---> y=ax^2
Como pasa por el (-100,100) ---> 100=a . 10000 ---> a = 1/100
Parábola: y = (1/100) x^2---> y = 0,01 . x^2
Hay que determinar en qué punto (x1, y1) la tangente a la parábola es una recta que pasa por el P (100,50)
La pendiente de la recta tangente en el punto (x1, y1) será la derivada de la función en el punto ---> y´= 0,02 . x1
La ecuación de la recta tangente ---> y = 0,02 . x1 . x + b
Como ha de pasar por el P(100,50):
50 = 0,02 . 100 . x1 + b ---> 50 = 2 . x1 + b ---> b = 50 - 2 . x1
Como también ha de pasar por el punto (x1,y1) <---> (x1 , 0,01 . x1^2)
0,01 . x1^2 = 0,02 . x1^2 + b ---> - 0,01 . x1^2 = b
Con estas dos ecuaciones:
b = 50 - 2 . x1
- 0,01 . x1^2 = b
Igualamos: 50 - 2 . x1 = - 0,01 . x1^2 ---> 0,01 . x1^2 - 2 . x1 + 50 = 0
Ecuación de segundo grado con dos soluciones:
X1 = 170,71 no válida porque suponemos que el coche dirige las luces hacia adelante y en este punto (valor de por superior a 100) el monumento ya estaría detrás.
x1 = 29,29 aprox. --> y1 = 8,58
Estaría en un punto situado 29,29 m al este y 8,58 m al norte del origen
Espero haberte ayudado. Perdón por el retraso pero he estado unos días no disponible.
Como pasa por el (-100,100) ---> 100=a . 10000 ---> a = 1/100
Parábola: y = (1/100) x^2---> y = 0,01 . x^2
Hay que determinar en qué punto (x1, y1) la tangente a la parábola es una recta que pasa por el P (100,50)
La pendiente de la recta tangente en el punto (x1, y1) será la derivada de la función en el punto ---> y´= 0,02 . x1
La ecuación de la recta tangente ---> y = 0,02 . x1 . x + b
Como ha de pasar por el P(100,50):
50 = 0,02 . 100 . x1 + b ---> 50 = 2 . x1 + b ---> b = 50 - 2 . x1
Como también ha de pasar por el punto (x1,y1) <---> (x1 , 0,01 . x1^2)
0,01 . x1^2 = 0,02 . x1^2 + b ---> - 0,01 . x1^2 = b
Con estas dos ecuaciones:
b = 50 - 2 . x1
- 0,01 . x1^2 = b
Igualamos: 50 - 2 . x1 = - 0,01 . x1^2 ---> 0,01 . x1^2 - 2 . x1 + 50 = 0
Ecuación de segundo grado con dos soluciones:
X1 = 170,71 no válida porque suponemos que el coche dirige las luces hacia adelante y en este punto (valor de por superior a 100) el monumento ya estaría detrás.
x1 = 29,29 aprox. --> y1 = 8,58
Estaría en un punto situado 29,29 m al este y 8,58 m al norte del origen
Espero haberte ayudado. Perdón por el retraso pero he estado unos días no disponible.
