Función contractiva
A ver si alguien puede explicarme este ejercicio de una formasencilla
Estudiese si la función f(x) =1 - (1/x^2+2) es contractiva en [0,1] .
Bueno yo pienso que es contractiva, pues la resta de sus funciones es menor que uno. Pero me parece muy simple. También es una función continua
Estudiese si la función f(x) =1 - (1/x^2+2) es contractiva en [0,1] .
Bueno yo pienso que es contractiva, pues la resta de sus funciones es menor que uno. Pero me parece muy simple. También es una función continua
1 respuesta
Respuesta de skakero
1
La función va a ser contractiva si:
|f(x)-f(y)|<= K*|x-y|, con K<1.
para esta funcion tienes:
abs(f(x)-f(y))=abs(-1/(y^2+2)+1/(x^2+2))=abs((-y^2+x^2)/((x^2+2)(y^2+2)))
se llena de parentesis, espeor lo entiendas.
por partes lo veremos:
abs(x^2-y^2)= abs(x-y)*abs(x+y)
abs(1/(x^2+2))<=abs(1/2) (lo mismo para y)
y abs(x+y)<=2.
resumiendo te queda que abs(f(x)-f(y))<=1/2(x-y)
la funcion es contractiva con K=1/2
|f(x)-f(y)|<= K*|x-y|, con K<1.
para esta funcion tienes:
abs(f(x)-f(y))=abs(-1/(y^2+2)+1/(x^2+2))=abs((-y^2+x^2)/((x^2+2)(y^2+2)))
se llena de parentesis, espeor lo entiendas.
por partes lo veremos:
abs(x^2-y^2)= abs(x-y)*abs(x+y)
abs(1/(x^2+2))<=abs(1/2) (lo mismo para y)
y abs(x+y)<=2.
resumiendo te queda que abs(f(x)-f(y))<=1/2(x-y)
la funcion es contractiva con K=1/2
Hola, muchas gracias. ¿qué es abs?
Gracias
Gracias
¿Valor absoluto no?
Gracias
Gracias
Hola skakero, no lo entiendo muy bien. ¿Por favor una forma más fácil de verlo?,
Muchas gracias, un saludo
Muchas gracias, un saludo
El resultado de 1/2 , no sé de donde viene.
Gracias
Gracias
Abs es valor absoluto:
Hay un dos en el nomerador y dos veces el 2 del denominador, los simplificas y listo =)
Hay que escribirlo bien para que lo veas bien
Hay un dos en el nomerador y dos veces el 2 del denominador, los simplificas y listo =)
Hay que escribirlo bien para que lo veas bien
El resultado de 1/2 en 1/(x^2+2) es porque tienes que:
(Considera mayor como mayor o igual)
x^2>0
x^2+2>2
(x^2+2)/2>1 (pasas el dos dividiendo)
1/2>1/(x^2+2) (pasando a dividir el x^2+2)
La gracia es que acotas la diferencia entre las funciones por la diferencia en la preimagenes, por eso se manipula hasta llehara un numero multiplicado por |x-y|
(Considera mayor como mayor o igual)
x^2>0
x^2+2>2
(x^2+2)/2>1 (pasas el dos dividiendo)
1/2>1/(x^2+2) (pasando a dividir el x^2+2)
La gracia es que acotas la diferencia entre las funciones por la diferencia en la preimagenes, por eso se manipula hasta llehara un numero multiplicado por |x-y|
