Geometría, Olimpiada de Brasil (Entrenamiento)
Sea ABC un triangulo y un punto P en su interior tal que
ºAPB - ºACB=ºAPC - ºABC. Si DE y E son los incentros de los triángulos APB y APC respectivamente. Demostrar que AP, BD y CE concurren.
ºAPB - ºACB=ºAPC - ºABC. Si DE y E son los incentros de los triángulos APB y APC respectivamente. Demostrar que AP, BD y CE concurren.
Respuesta de canalrev
1
Sean <ABC=?, <BAC=?, y <ACB=?.
Debemos comprobar que las bisectrices de los ángulos ABP y ACP se cortan en un
punto de AP.
La bisectriz del ángulo ACP cortará a AP en T. Según la propiedad de la bisectriz,
tenemos: PT/AT= PC/AC
Deberemos confirmar que BT es la bisectriz de ACP, es decir que debemos comprobar
que PT/AT= PB/AB, es decir que PC/AC=PB/AB.
O bien AB/AC=PB/PC.
Esta relación de igualdad nos recuerda la ley de los senos.
AB/AC=sen ACB/ sen ABC.
Quizá sea esta estrategia adecuada, en caso de comprobar que
PB/PC= sen ACB/ sen ABC.
Tengamos en cuenta de nuevo una construcción geométrica en la que PB y PC se
relacionen con los ángulos ACB y ABC.
Si trazamos la circunferencia circunscrita, AP cortará a la misma en U.
Los triángulos BPU y CPU nos van a servir de ayuda.
Es <PUB=<AUB=<ACB, por lo que <PBU=<APB-<AUB=<APB-<ACB
Por otra parte, es <PUC=<PBC, y de igual manera, <PCU=<APC-<ABC,
Luego <PBU=<PCU
Tenemos, de nuevo por la ley de los senos:
BP/PU= sen PUB / sen PBU, y además CP/PU= sen PUC/ sen PCU, y por ello,
BP/CP= sen PUB / sen PUC = sen ACB / sen ABC.
Si trazamos la circunferencia circunscrita, AP cortará a la misma en U. Los triángulos BPU y CPU nos van a servir de ayuda.Es <PUB=<AUB=<ACB, por lo que <PBU=<APB-<AUB=<APB-<ACBPor otra parte, es <PUC=<PBC, y de igual manera, <PCU=<APC-<ABC,Luego <PBU=<PCUTenemos, de nuevo por la ley de los senos:BP/PU= sen PUB / sen PBU, y además CP/PU= sen PUC/ sen PCU, y por ello,BP/CP= sen PUB / sen PUC = sen ACB / sen ABC.
Se que es complejo, me parece que se pasaron en la dificultad de este ejercicio.
Debemos comprobar que las bisectrices de los ángulos ABP y ACP se cortan en un
punto de AP.
La bisectriz del ángulo ACP cortará a AP en T. Según la propiedad de la bisectriz,
tenemos: PT/AT= PC/AC
Deberemos confirmar que BT es la bisectriz de ACP, es decir que debemos comprobar
que PT/AT= PB/AB, es decir que PC/AC=PB/AB.
O bien AB/AC=PB/PC.
Esta relación de igualdad nos recuerda la ley de los senos.
AB/AC=sen ACB/ sen ABC.
Quizá sea esta estrategia adecuada, en caso de comprobar que
PB/PC= sen ACB/ sen ABC.
Tengamos en cuenta de nuevo una construcción geométrica en la que PB y PC se
relacionen con los ángulos ACB y ABC.
Si trazamos la circunferencia circunscrita, AP cortará a la misma en U.
Los triángulos BPU y CPU nos van a servir de ayuda.
Es <PUB=<AUB=<ACB, por lo que <PBU=<APB-<AUB=<APB-<ACB
Por otra parte, es <PUC=<PBC, y de igual manera, <PCU=<APC-<ABC,
Luego <PBU=<PCU
Tenemos, de nuevo por la ley de los senos:
BP/PU= sen PUB / sen PBU, y además CP/PU= sen PUC/ sen PCU, y por ello,
BP/CP= sen PUB / sen PUC = sen ACB / sen ABC.
Si trazamos la circunferencia circunscrita, AP cortará a la misma en U. Los triángulos BPU y CPU nos van a servir de ayuda.Es <PUB=<AUB=<ACB, por lo que <PBU=<APB-<AUB=<APB-<ACBPor otra parte, es <PUC=<PBC, y de igual manera, <PCU=<APC-<ABC,Luego <PBU=<PCUTenemos, de nuevo por la ley de los senos:BP/PU= sen PUB / sen PBU, y además CP/PU= sen PUC/ sen PCU, y por ello,BP/CP= sen PUB / sen PUC = sen ACB / sen ABC.
Se que es complejo, me parece que se pasaron en la dificultad de este ejercicio.
He encontrado una demostración un poco más corta dependiente del teorema de ptolomeo.
Está en inglés.
http://www.mathdb.org/resource_sharing/excalibur/v2_n4.pdf
Está en inglés.
http://www.mathdb.org/resource_sharing/excalibur/v2_n4.pdf
