Ejercicio de Trigonometría: Coseno de 72
Me podrías ayudar a sacar el coseno de 72 sin usar la calculadora.
No sé si tienes varios métodos que me podrías explicar ya que en mi libro dibujaron un triangulo isósceles que tiene estos ángulos: 72, 72 y 36... Donde un angulo de 72 lo partieron a la mitad (bisectriz) y formaron otro triangulo que tiene también los mismos ángulos y no me dicen como sacaron el Cos 72 D:
Sólo dice. Cos 72 = [ (-1 + sqrt(5) ] / 4
1 Respuesta
Con una imagen se entenderá bien, espero.
La distancia AC que he llamado c es 2 veces el coseno de 72º. Por ser AEC isósceles EC = c
Y como EBC también es isósceles, BE = c.
Por otro lado ABC y ACE son semejantes, luego los lados son proporcionales y por teorema de Thales
AB / AC = AC / AE
Que con los datos que conocemos es
1 / 2cos72º = 2cos72º / (1-2cos72º)
Y esto es una ecuación donde la incógnita que vamos a poner es 2cos72º
1/x = x/(1-x)
1-x = x^2
x^2+x-1 = 0
x = [-1 +- sqrt(1+4)]/2 = [-1 +- sqrt(5)] / 2
Como el cos72º es positivo hay que tomar el signo +
Hey, recordar que la incógnita era x=2cos72º
2cos72º = [-1 + sqrt(5)] / 2
cos72º = [-1 + sqrt(5)] / 4
Efectivamente, esa es la respuesta.
Y eso es todo.
