Relaciones entre ángulos
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo miden 7'2cm y 12'8cm. Se desea hallar la longitud de los catetos y la altura correspondiente a la hipotenusa
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Mónica Rios!
El problema que me planteas tiene muchas formas de resolverse. Depende de los estudios que tengas. Para ayudarme a elegir la forma más adecuada dime que curso es, cuantos años tienes y un resumen del tema donde aparece el problema. Me interesa saber si se puede utilizar trigronometría con senos, cosenos, tangentes, teorema de los senos, etc. o solo el teorema de Thales y el de Pitágoras. Es por no resolverlo de una manera arcaica para ti pero tampoco de una forma que no hallas estudiado todavía.
El problema que me planteas tiene muchas formas de resolverse. Depende de los estudios que tengas. Para ayudarme a elegir la forma más adecuada dime que curso es, cuantos años tienes y un resumen del tema donde aparece el problema. Me interesa saber si se puede utilizar trigronometría con senos, cosenos, tangentes, teorema de los senos, etc. o solo el teorema de Thales y el de Pitágoras. Es por no resolverlo de una manera arcaica para ti pero tampoco de una forma que no hallas estudiado todavía.
No importa, lo resuelvo de las dos formas y ya está.
Lo primero será que hagas el dibujo que te voy a decir porque este editor no deja hacer gráficos, solo escribir y mal.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma.
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c"y.
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo como "?" de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama "?" al ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos ángulos no rectos, ¿es decir? +? =90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, ¿el ángulo ACD es? y el BCD es?.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
¿Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos?,? Y 90. Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por un lado, por otro los menores y por otro las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande), luego el derecho (pequeño)
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tenemos
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(?) Es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Lo primero será que hagas el dibujo que te voy a decir porque este editor no deja hacer gráficos, solo escribir y mal.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma.
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c"y.
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo como "?" de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama "?" al ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos ángulos no rectos, ¿es decir? +? =90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, ¿el ángulo ACD es? y el BCD es?.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
¿Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos?,? Y 90. Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por un lado, por otro los menores y por otro las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande), luego el derecho (pequeño)
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tenemos
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(?) Es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Por Dios que horror! Clamo al cielo ya porque pongan un editor medio decente para contestar las preguntas de matemáticas, todo el trabajo se ha ido por la borda porque no admite las letras griegas alfa y beta tan usadas en matemáticas y ha puesto unas tontas interrogaciones en su lugar. Bueno no importa, lo repito todo usando el nombre de la letra en vez del símbolo.
Perdona por no haber previsto que podría suceder esto, yo soy el que más lo siento y más trabajo me va a llevar.
Lo primero será que hagas el dibujo que te voy a decir porque este editor no deja hacer gráficos, solo escribir y mal.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma:
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c".
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo con la letra griega alfa de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama y marca la letra giega beta en el ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos angulos no rectos, es decir alfa+beta=90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, el ángulo ACD es beta y el BCD es alfa.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos alfa, beta y 90. Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por una parte, por otra los menores y por otra las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande) y luego el derecho (pequeño):
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tendremos que la razón entre el cateto mayor de uno y de otro será la misma que la de los catetos menores. En concreto nos interesa esta:
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(alfa) es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Perdona por no haber previsto que podría suceder esto, yo soy el que más lo siento y más trabajo me va a llevar.
Lo primero será que hagas el dibujo que te voy a decir porque este editor no deja hacer gráficos, solo escribir y mal.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma:
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c".
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo con la letra griega alfa de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama y marca la letra giega beta en el ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos angulos no rectos, es decir alfa+beta=90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, el ángulo ACD es beta y el BCD es alfa.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos alfa, beta y 90. Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por una parte, por otra los menores y por otra las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande) y luego el derecho (pequeño):
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tendremos que la razón entre el cateto mayor de uno y de otro será la misma que la de los catetos menores. En concreto nos interesa esta:
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(alfa) es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
