Demostración con Primos
Hola! Ojala me puedan ayudar...
Supongamos que a, b, p son enteros y que p es primo, Si p|ab entonces p|a ó p|b .
(El o significa que puede dividir a uno de los dos o a los dos)
Tengo lo siguiente:
Si p no divide a a, entonces (p, a)=1 por lo que existen enteros m, n tales que
pm + an = 1 (multiplicando por b)
pbm + abn = b ( puesto que p|ab entonces ab=kp)
pbm + kpn = b (factorizando p)
p(bm + kn) = b
por lo que p|b .
Iniciando con p no divide a b ... Obtengo que p|a .
En esta parte ya tengo que al menos divide a uno de los dos.
Pero como puedo demostrar que también puede dividir a los dos al mismo tiempo.?
Gracias
Supongamos que a, b, p son enteros y que p es primo, Si p|ab entonces p|a ó p|b .
(El o significa que puede dividir a uno de los dos o a los dos)
Tengo lo siguiente:
Si p no divide a a, entonces (p, a)=1 por lo que existen enteros m, n tales que
pm + an = 1 (multiplicando por b)
pbm + abn = b ( puesto que p|ab entonces ab=kp)
pbm + kpn = b (factorizando p)
p(bm + kn) = b
por lo que p|b .
Iniciando con p no divide a b ... Obtengo que p|a .
En esta parte ya tengo que al menos divide a uno de los dos.
Pero como puedo demostrar que también puede dividir a los dos al mismo tiempo.?
Gracias
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
¿Cuál es la pregunta en concreto? Ya has demostrado que si p|ab entonces p|a o p|b.
Algunas veces dividirá solo a uno y otras a los dos.
Si dado p tomamos a=2p y b=3p
p | 2p·3p
p | 2p
p | 3p
Luego queda demostrado que dado p existen a y b tales p divide a "a" a "b" y a "ab"
¿Creo qué eso es lo que pides no?
Lo realmente difícil era lo que ya habías demostrado. Espero que te sirva. No olvides puntuar y cerra la pregunta.
Algunas veces dividirá solo a uno y otras a los dos.
Si dado p tomamos a=2p y b=3p
p | 2p·3p
p | 2p
p | 3p
Luego queda demostrado que dado p existen a y b tales p divide a "a" a "b" y a "ab"
¿Creo qué eso es lo que pides no?
Lo realmente difícil era lo que ya habías demostrado. Espero que te sirva. No olvides puntuar y cerra la pregunta.
Mira, es que lo que yo entiendo es que con lo que hice demostré que si p|ab entonces p|a o p|b . Pero solo veo que p dividirá sólo a uno de los dos... pero no veo que a veces dividirá a los dos.
No se si lo estoy entendiendo mal.
No se si lo estoy entendiendo mal.
El torema, que se ha visto varias veces aquí y es muy famoso es que dados a, b enteros y p número primo, si p|ab entonces p|a o p|b. Consiste en demostrar que divide al menos a uno de los dos y eso ya lo habías demostrado y no hace falta más.
Que aparte en algún caso divida a los dos... pues bien, pero lo sustancial es que divide al menos a uno de los dos y eso es lo que tiene interés.
Por tanto no le des más vueltas, el teorema ya lo tienes demostrado.
Espero que te lo hallas comprendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Que aparte en algún caso divida a los dos... pues bien, pero lo sustancial es que divide al menos a uno de los dos y eso es lo que tiene interés.
Por tanto no le des más vueltas, el teorema ya lo tienes demostrado.
Espero que te lo hallas comprendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Ok... muchas gracias..! Es que la verdd si había pensado que no bastaba con demostrar que dividía al menos a uno de los dos, porque como el maestro dijo: recuerden que el o quiere decir que a uno de los dos o a ambos.
