Ley del seno y del conseno en ángulos

No me ha llegado ninguna imagen ni enlace donde dices ver imagen. Así que no tengo ni idea de lo que preguntas. Mira a ver si puedes corregir lo de la imagen o formular la pregunta por escrito.

Discupa este es el link con la imagen o http://juand82.brinkster.net/

Demostrarlo puede ser difícil quizá. T adelanto la respuesta aproximada. He hecho el dibujo con Geogebra y la pendiente me dio 1,11 que equivale a un ángulo de 47,98 grados aproximadamente.
Si necesitas precisión total podría intentar calcularlo por geometría analítica, vectores, ecuaciones, productos escalares, etc. No sabría hacerlo de otra forma.

Hola Experto
¿Si por favor podrías intentar utilizando vectores o productos escalares?...
Muchas gracias de antemano

Vamos a ver, por el titulo creo que lo que se debe utilizar son los teoremas del seno y el coseno. Voy a intentarlo con esos teoremas. Como puedes ver tu dibujo está bastante desproporcionado, aunque puede servir.
Marca Como A el punto de arriba, B el de abajo derecha, C abajo izquierda y DE el de altura media más a la izquierda.
Traza el segmento BD
En el triángulo BCD conoces dos lados y el angulo interno, puedes usar el teorema de los cosenos para hallar el otro lado. Que dice:
a^2 = b^2 + c^2 - 2a·b·cos A
Eso es usando la notación en que los lados tienen la letra minúscula del vértice opuesto. Nosotros en vez de letras minúsculas de los lados usaremos el segmento denotado por las dos letras de los vértices
BD^2 = 4^2 + 10^2 - 2·4·10·cos 100 = 16 + 100 - 80(- 0,1736481) = 129,89185
BD = sqrt(129,89185) = 11,397011
Y ahora se puede usar el teorema de los senos para calcular los ángulos que nos faltan en ese triángulo que son CDB y CBD
EL teorema de los senos es:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
11,397011 / sen 100 = 4 / sen CBD = 10 / sen CDB
sen CBD = 4 sen 100 / 11,397011 = 0,3456372
CBD = arcsen 0,3456372 = 20,220698º
CDB = 180 - 100 - 20,220698 = 59,779302º
También conocemos los tres lados del triangulo ABD, podemos usar el teorema de los cosenos para calcular cialquier ángulo, en concreto lo usaremos para calcular el ángulo ADB
12^2 = 10^2 + 11,397011^2 - 2 · 10 · 11,397011 · cos ADB
cos ADB = - (144 - 100 - 129,89186) / (2 · 10 · 11,397011)
cos ADB = 85,89186 / 227,94022 = 0,3768174
ADB = arcos 0,3768174 = 67,863311º
Ahora sumando ADB con CDB tendremos el ángulo en el vertice D
D = 67,863311º + 59,779302º = 127,64261º
Este ángulo en DE se compone de dos ángulos, el por que queremos calcular y el otro. Si lanzamos una línea recta hacia arriba desde C formamos un triángulo rectángulo CD y el punto de corte de esa line y la perpendicular por D. Elangulo inferior mide 10 grados porque C tenia 100º y le quitamos 90, luego ese que hemos llamado el otro ángulo mide 80º
Con lo que x = 127,64261º - 80º = 47,64261 º
! Eureka!
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Pregunta si te quedo alguna duda y no olvides puntuar.