Inducción matemática
Hola, tengo algunas dudas sobre como demostrar por el principio de inducción matemática, lo voy a ejemplificar:
2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n * (n+1)
Tengo que demostrar esta igualdad por el principio de inducción matemática, ahora mis dudas:
1º) Tengo que tomar el "2*n" o tengo que tomar toda la sucesión, osea los términos anteriores "2, 4, 6 ...", ¿para la comprobación?
2º) Cuando yo reemplazo por P(1) me q'daría:
2*1 = 1 * (1+1)
2 = 2
¿Esto es verdadero o tiene q' dar 1?
pd: Podrías recomendarme un libro de Álgebra, entendible, y con estos temas bien explicados, porque en la facu. La explicación y los cuadernillos teóricos dejan mucho que desear.
Sin más, muchas gracias nuevamente...
2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n * (n+1)
Tengo que demostrar esta igualdad por el principio de inducción matemática, ahora mis dudas:
1º) Tengo que tomar el "2*n" o tengo que tomar toda la sucesión, osea los términos anteriores "2, 4, 6 ...", ¿para la comprobación?
2º) Cuando yo reemplazo por P(1) me q'daría:
2*1 = 1 * (1+1)
2 = 2
¿Esto es verdadero o tiene q' dar 1?
pd: Podrías recomendarme un libro de Álgebra, entendible, y con estos temas bien explicados, porque en la facu. La explicación y los cuadernillos teóricos dejan mucho que desear.
Sin más, muchas gracias nuevamente...
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
2+4+..2n=n(n+1)
Has demostrado que para n=1 se cumple
2=1(1+1)
2=2
Lo has demostrado para n=1 y la expresión tanto en un miembro como en otro da lo mismo: 2 ( no tiene por qué dar 1), y sólo te falta el paso 2º
2º Supuesto para n, demostrar que es cierto para n+1
Es decir, tú sabes que:
2+4+..2n=n(n+1)
y queda por demostrar que
2+4+..2n+2(n+1)=(n+1)(n+1+1)
2+4+..2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)
2+4+...+2n+2(n+1)=2
2+4+...+2n+2n+2
Y como
2+4+..2n=n(n+1)
n(n+1)+2n+2=
n^2+n+2n+2=
n^2+3n+2
Y factorizando
n^2+3n+2=0
n=[-3+-raiz(1)]/2
n=[-3+-1]/2
n=-2 y n=-1
luego
2+4+...+2n+2n+2=(n+1)(n+2)
Que es lo que queríamos demostrar
Espero que te sirva, y si tienes alguna duda no dudes en preguntar de nuevo
Has demostrado que para n=1 se cumple
2=1(1+1)
2=2
Lo has demostrado para n=1 y la expresión tanto en un miembro como en otro da lo mismo: 2 ( no tiene por qué dar 1), y sólo te falta el paso 2º
2º Supuesto para n, demostrar que es cierto para n+1
Es decir, tú sabes que:
2+4+..2n=n(n+1)
y queda por demostrar que
2+4+..2n+2(n+1)=(n+1)(n+1+1)
2+4+..2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)
2+4+...+2n+2(n+1)=2
2+4+...+2n+2n+2
Y como
2+4+..2n=n(n+1)
n(n+1)+2n+2=
n^2+n+2n+2=
n^2+3n+2
Y factorizando
n^2+3n+2=0
n=[-3+-raiz(1)]/2
n=[-3+-1]/2
n=-2 y n=-1
luego
2+4+...+2n+2n+2=(n+1)(n+2)
Que es lo que queríamos demostrar
Espero que te sirva, y si tienes alguna duda no dudes en preguntar de nuevo
Bueno muchas gracias de nuevo...
Me sirvió de mucho, ahora me prestaron un libro de álgebra y espero recurrir menos a tus explicaciones. (Eso querrá decir que estoy entendiendo..)
Me sirvió de mucho, ahora me prestaron un libro de álgebra y espero recurrir menos a tus explicaciones. (Eso querrá decir que estoy entendiendo..)
