Demostrar por Inducción Matemática

Algún símbolo ha salido mal, pero n debe pertenecer a N

Vamos a demostrár primero que para un monomio de grado n la derivada n+1 es cero

Empezaremos por un monomio de grado 0

p(x) = k con k € R

entonces

p'(x) = 0

Luego se cumple para 0

Ahora supongamos que se cumple para un monomio de grado n y veamos que si se cumple para un monomio de grado n+1

p(x) = kx^(n+1) =

usando las reglas de derivación derivamos una vez

p'(x) = k(n+1)x^n

Y esto es un monomio de grado n luego por hipótesis su derivada n+1 es nula

En conjunto derivando n+2 veces p(x) tenemos el polinomio nulo, luego se cumple la inducción y por lo tanto queda demostrado que un monomio de grado n se anula en n+1 derivadas.

Asimismo también sabemos que la derivada del polinomio nulo es 0. luego añadido a lo anterior nos dice que dado un monomio de grado n las derivadas n+1 y sucesivas son todas nulas.

Entonces dado un polinomio de grado n la derivada n+1 es la suma de las derivadas n+1 de todos sus monomios que son todas nulas y por lo tanto es nula.

Y eso es todo.