Ideales inversos y homomorfismos de anillos

Me va a liar la notación usada, normalmente se llamaría I' a ese ideal en vez de a'. Voy a hacerlo así

Sean c y d € f^(-1)(I')

f(c) = c' € I'

f(d) = d' € I'

f(c+d) = f(c)+f(d) = c'+d' € I'

luego c+d € f^(-1)(I')

f(cd) = f(c)·f(d) = c'd' € I'

luego cd € f^(-1)(I')

Esto demuestra que f^(-1)(I') es un subanillo.

Ahora hemos de ver que es un ideal, primero por la izquierda

Sea c € f^(-1)(I') y b € A

llamemos c' = f(c) € I'

f(cb) = f(c)·f(b)= c'·f(b)

como I' es un ideal y c' € I' se cumple

c'·f(b) € I'

luego

f(cb) € I'

cb € f^(-1)(I')

Luego f^(-1)(I') es ideal por la izquierda.

Analógamente se demuestra que es ideal por la derecha y por lo tanto es un ideal.

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Lo que te decía la principio sobre la notación llamare I al ideal de A e I' al de A'. Hay que demostrar que el homomorfismo inducido de A/I en A'/I' es uno a uno

La relación de equivalencia que induce un ideal I en un anillo A es

a R b si y solo si b-a € I

Sean [a] y € A/I tales que f([a])=f()

existe i' € I' tal que

f(b) - f(a) = i'

f(b-a) = i'

luego b-a € f^(-1)(I')=I

existe i € I tal que b-a = i

luego a R b y por tanto [a] =

Y el homorfismo f es uno a uno.

Y eso es todo,

Hola.

Primero. No sé por qué demuestras que f^(-1)(l') es un subanillo cuando basta comprobar que es un subgrupo del grupo aditivo de A.

Segundo. Parece que te has comido la en la demostración del homomorfismo inducido, del que, por otra parte, no veo la expresión explícita. Nota: no es f lo que queremos demostrar que sea uno-a-uno, sino el homomorfismo inducido.

Gracias por tu atención.

Nunca fue el algebra lo que mejor se me daba y cuando veo preguntas de algebra por encima de la lineal me pongo a temblar y tengo que consultar por donbde puedo. Y sobre la notación y maneras de demostrar tendría que tener tu libro para hacerlo como quieres.

Lo primero lo dirás porque conoceras algún teorema que yo no. Para mi un ideal es un sabanillo que cumple que todo elemento de IA y de AI pertence a I y eso es lo que he demostrado. Lo que te digo, si me dices el libro que llevas a lo mejor puedo estudiarlo

Y respecto a lo segundo la página se comió alguna cosa en la demostración del monomorfismo, debía haber mala conexión de internet.

Sean [a] y € A/I tales que f([a])=f()
eso significa que existe i' € I' tal que
f(b) - f(a) = i'
f(b-a) = i'
luego b-a € f^(-1)(I')=I
existe i € I tal que b-a = i
luego a R b y por tanto [a] =
Y el homorfismo f inducido es uno a uno.

He llamado indistintamente f al homomorfismo normal y al inducido creo que se entiende cuando me refiero a uno y a otro, tampoco se puede pedir mucho más en está página donde no se pueden escribir subíndices ni superíndices en el texto.

f([a]) es el homomorfismo inducido
f(a) es el homomorfismo normal

Y eso es todo espero te sirva de ayuda, lo hago con todo mi interés y esfuerzo, si en algún sitio falta rigor ponlo tú.

Un saludo!