Demostración función biyectiva

Es una función de R2 en R2. Para saber si es inyectiva demostraremos que si dos elementos tienen la misma imagen son el mismo elemento

Sean (a, b) y (c, d) dos elemento que tienen la misma imagen

(a/3 + 3b, b/3 - 3a) = (c/3 + 3d, d/3 - 3c)

Se deducen estas dos ecuaciones

a/3+3b = c/3+3d

b/3-3a = d/3-3c

despejamos a en la primera

a = 3(c/3 + 3d - 3b)

y lo sustituimos en la segunda

b/3 - 9(c/3 + 3d - 3b) = d/3 - 3c

b/3 - 3c - 27d + 27b = d/3 - 3c

b/3 - 27d + 27b = d/3

b/3 + 27b = d/3 + 27d

(82/3)b = (82/3)d

b=d

y con este resultado vamos a la primera

a/3+3b =c/3+3b

a/3 = c/3

a=c

Luego de las dos igualdades que hemos obtenido se deduce

(a, b) = (c,d)

y por lo tanto es inyectiva.

Par demostrar que es sobreyectiva tendremos que encontrar el origen para cualquier imagen.

Sea (c,d) € R2, tenemos que encontrar un (a,b) € R2 tal que f(a,b) = (c,d)

a/3 + 3b = c

b/3 - 3a = d

Multiplicamos la primera por 9 y la sumamos a la segunda para resolver por reducción

b/3 + 27b = d+9c

(82/3)b = d+9c

b = (3/82)(d+9c) = (3d+27c) / 82

y ahora vamos a la segunda con este resultado

[(3d+27c)/82]/3 -3a = d

(d+9c)/82 -3a = d

3a = (d+9c)/82 -d = (9c - 81d) / 82

a = (3c-27d) / 82

Luego dado un punto (c, d) tenemos el punto

(a,b) = ((3c-27d) / 82, (3d+27c) / 82)

tal que f(a,b)=(c,d) y la función es sobreyectiva.

Vamos a comprobar que es verdad por si nos hemos equivocado en las cuentas

(c-9d)/82 + (9d+81c)/82 = 82c/82 = c

(d+9c)/82 - (9c-81d)/82 = 82d/82 = d

Está bien

El proceso para construir la inversa es similar al que hemos seguido para demostrar que es sobreyectiva.

Si f(a,b) = (c,d) ==> (a,b) = f^1(c,d)

Y eso hemos hecho en el apartado anterior, poner (a, b) como función de (c, d), luego hemos calculado la inversa. Vamos simplemente a expresarla con las variables x e y en vez de c y d

f^-1(x, y) = ((3x-27y) / 82, (3y+27x) / 82)

Y la comprobación de que f[f^-1(x,y)] = (x, y) es también similar a la que hicimos.

Y eso es todo.