Problema de optimización
Tengo un problema:
Un espejo rectangular de 100x70 se ha roto por uno de sus vértices. La forma del pedazo es un triangulo rectángulo de 9x6. Calcular cómo debe cortarse el espejo para que siga siendo rectangular y tenga el área máxima.
Gracias
Un espejo rectangular de 100x70 se ha roto por uno de sus vértices. La forma del pedazo es un triangulo rectángulo de 9x6. Calcular cómo debe cortarse el espejo para que siga siendo rectangular y tenga el área máxima.
Gracias
Respuesta de mikel1970
1
Es un problema típico de optimización de funciones.
Existe un pequeño problema en el enunciado, pues no indica la disposición del pedazo triangular roto (puede interpretarse de dos formas, como veremos)
Supongamos que colocamos el rectángulo de forma que la base sea 100 y la altura sea 70.
Ahora lo rompemos por el vértice superior derecho, de forma que el triángulo roto tenga un lado horizontal de 9 y uno vertical de 6 (He aquí la variante, pues podríamos interpretarlo de la otra forma)
En tal caso, tomando el origen en el vértice inferior izquierdo del rectángulo, la recta que nos proporciona la hipotenusa del triángulo pasará por los puntos
A(100-9,70)=A(91,70)
B(100,70-6)=B(100,64)
La otra disposición nos quedaría A(100-6,70)=A(94,70) y B(100,70-9)=B(100,61)
Desarrollaremos la primera
Calculamos la recta que pasa por esos puntos-->Hipotenusa del triángulo
y=m*x+n
A(91,70)-->70=91*m+n
B(100,64)-->64=100*m+n
Restando las dos ecuaciones
70-64=91*m-100*m
-9*m=6
m=-6/9=-2/3
Sustituyendo en alguna de las ecuaciones
70=91*m+n
70=91*(-2/3)+n
n=70+182/3=392/3
Luego la recta será
y=-(2/3)*x+392/3
Si calculamos ahora el espejo rectangular de mayor área, evidentemente éste será un espejo rectangular de vértice inferior izquierdo el origen (0,0) y de vértice superior derecho un punto de la recta.
De esta forma nos quedará un rectángulo de lados paralelos al original. Trata de hacer el dibujo y lo verás más claro.
Llamando C(x, y) al punto de la recta, nos quedará un rectángulo de área
A=x*y-->máxima
Para calcular el máximo se ha de cumplir que la derivada sea nula
A'=0 (o el vértice de la parábola si aún no has visto derivadas)
Como el punto está sobre la recta, ya sabemos la relación entre x e y
y=-(2/3)*x+392/3
Luego el área será
A=x*y=x*[-(2/3)*x+392/3]
A=-(2/3)*x^2+(392/3)*x
Derivando e igualando a cero
A'=-(2/3)*2*x+(392/3)=0
A'=-(4/3)*x+(392/3)=0
(4/3)*x=392/3
4*x=392
x=98
y=-(2/3)*98+392/3=196/3
Luego el espejo tendrá unas dimensiones de
98x196/3
y un área de
A=98*196/3=19208/3=6402,67 cm^2 (menor que el original 100*70=7000 cm^2)
Sólo queda comprobar que es un máximo, esto es, que la segunda derivada es negativa
A''=-(4/3)<0-->máximo
NOTA: Si no has vidsto aún derivadas, sólo has de darte cuenta que la función que representa el área en función del corte
A=-(2/3)*x^2+(392/3)*x
es una parábola con las ramas hacia abajo, cuyo vértice es el máximo
xv=-b/(2*a)=-(392/3)/[2*(-2/3)]=(392/3)/(4/3)=392/4=98
Espero que te sirva, y trata de repetir el problema con el corte de la otra forma (Puntos A(94,70) y B(100,61))
Existe un pequeño problema en el enunciado, pues no indica la disposición del pedazo triangular roto (puede interpretarse de dos formas, como veremos)
Supongamos que colocamos el rectángulo de forma que la base sea 100 y la altura sea 70.
Ahora lo rompemos por el vértice superior derecho, de forma que el triángulo roto tenga un lado horizontal de 9 y uno vertical de 6 (He aquí la variante, pues podríamos interpretarlo de la otra forma)
En tal caso, tomando el origen en el vértice inferior izquierdo del rectángulo, la recta que nos proporciona la hipotenusa del triángulo pasará por los puntos
A(100-9,70)=A(91,70)
B(100,70-6)=B(100,64)
La otra disposición nos quedaría A(100-6,70)=A(94,70) y B(100,70-9)=B(100,61)
Desarrollaremos la primera
Calculamos la recta que pasa por esos puntos-->Hipotenusa del triángulo
y=m*x+n
A(91,70)-->70=91*m+n
B(100,64)-->64=100*m+n
Restando las dos ecuaciones
70-64=91*m-100*m
-9*m=6
m=-6/9=-2/3
Sustituyendo en alguna de las ecuaciones
70=91*m+n
70=91*(-2/3)+n
n=70+182/3=392/3
Luego la recta será
y=-(2/3)*x+392/3
Si calculamos ahora el espejo rectangular de mayor área, evidentemente éste será un espejo rectangular de vértice inferior izquierdo el origen (0,0) y de vértice superior derecho un punto de la recta.
De esta forma nos quedará un rectángulo de lados paralelos al original. Trata de hacer el dibujo y lo verás más claro.
Llamando C(x, y) al punto de la recta, nos quedará un rectángulo de área
A=x*y-->máxima
Para calcular el máximo se ha de cumplir que la derivada sea nula
A'=0 (o el vértice de la parábola si aún no has visto derivadas)
Como el punto está sobre la recta, ya sabemos la relación entre x e y
y=-(2/3)*x+392/3
Luego el área será
A=x*y=x*[-(2/3)*x+392/3]
A=-(2/3)*x^2+(392/3)*x
Derivando e igualando a cero
A'=-(2/3)*2*x+(392/3)=0
A'=-(4/3)*x+(392/3)=0
(4/3)*x=392/3
4*x=392
x=98
y=-(2/3)*98+392/3=196/3
Luego el espejo tendrá unas dimensiones de
98x196/3
y un área de
A=98*196/3=19208/3=6402,67 cm^2 (menor que el original 100*70=7000 cm^2)
Sólo queda comprobar que es un máximo, esto es, que la segunda derivada es negativa
A''=-(4/3)<0-->máximo
NOTA: Si no has vidsto aún derivadas, sólo has de darte cuenta que la función que representa el área en función del corte
A=-(2/3)*x^2+(392/3)*x
es una parábola con las ramas hacia abajo, cuyo vértice es el máximo
xv=-b/(2*a)=-(392/3)/[2*(-2/3)]=(392/3)/(4/3)=392/4=98
Espero que te sirva, y trata de repetir el problema con el corte de la otra forma (Puntos A(94,70) y B(100,61))
