Halla el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas

Es la primera que oigo hablar de ese método. Yo solo conocía el método de los discos para objetos girando alrededor del eje X, y pensaba que para calcular el volumen al girar alrededor del eje Y se debía calcular la función inversa y usar el método de los discos con ella. Pero he visto que el método de los cascarones cilíndricos puede calcular el volumen sin necesidad de despejar la x de la función para obtener la inversa, que hay algunas veces que es difícil e incluso imposible. No es este el caso donde la función inversa es raíz de x pero en otros casos será difícil.

Los limites de integración a y b son los límites en el eje X de la figura y la fórmula es esta

$$V=2\pi\int_a^b xf(x)dx$$

Vamos a calcular los límites de las figuras en el eje X. No será necesario dibujar la función, x^2 ya sabemos que es la parábola en forma de U con vértice en (0,0)

a) No nos dan dos límites para x, supondré que el inferior es x=0

$$\begin{align}&V=2\pi\int_a^b xf(x)dx=2\pi\int_0^1x·x^2dx=\\ &\\ &2\pi \int_0^1 x^3dx =2\pi \left[ \frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{\pi}{2}\left[x^4\right]_0^1=\frac {\pi}{2}\end{align}$$

b) Aprovechamos el trabajo hecho anteriormente, hasta el momento final en que se evalúa la función entre los límites sirven las misma cuentas, aquí los límites serán 1 y 2

$$V=\frac{\pi}{2}\left[x^4  \right]_1^2=\frac{\pi}{2}(2^4-1^4)=\frac{15\pi}{2}$$

Y eso es todo.