Función Homogénea, definición.
En la definición, de función homogénea de grado m
$$f(tx_1,tx_2,...,tx_n)=t^mf(x_1,x_2,...,x_n), m \in R$$
algunos autores excluyen el cero de R y otros como Rabuffetti, en cálculo II, no lo hace.
¿Cuál es el correcto y por que?
Es una cuestión de definición. Yo puedo decirte que en lo que estudié y en mi libro (Piskunov) si se incluye el 0 y se habla de homogéneas de grado 0 o simplemente homogéneas.
Y estas funciones homogéneas de grado 0 (o homogéneas) tienen importancia en las ecuaciones diferenciales porque tienen un método particular por el que pueden resolverse.
Y eso es todo.
Hola Valeroasm... me confundí en la pregunta, puesto que, sí se define la homogénea de grado cero, pero puse mal, no es el m perteneciente a R sino, el t. Desde ya gracias.
$$f(tx_1,tx_2,...,tx_n)=t^mf(x_1,x_2,...,x_n),t?R$$
Pues aquí si que hay definiciones distintas, en mi libro no excluyen t=0 pero la Wikipedia lo excluye. Sin duda debe ser porque da lo mismo.
Sea f homogénea de grado m para todo t distinto de cero, entonces
f(0,0...,0) = f(2·0,2·0,...,2·0) = 2^m·f(0,0,...0)
f(0,0,..,0) = 2^m·f(0,0,...,0)
i) Si m distinto de 0 solo puede darse esa igualdad si f(0,0,..0) = 0
con lo cual
0=f(0·x1,0·x2,...,0·xn) = 0^m·f(x1,x2,...xn)
y se cumple la definición para t=0
ii) Si m = 0
f(tx1,tx2,...,t·xn)=t^0·f(x1,x2,...,xn) para todo t distinto de cero
Supongamos que se cumple para t=0
f(0·x1, 0·x2,...,0·xn) = 0^0·f(x1,x2,...,xn)
Si 0^0 distinto de 0 sería absurdo, la función valdría siempre lo mismo sería una constante
si 0^0=0 entonces f(0,0,..,0)=0 con lo cual 0=f(0·x1,...0·xn) =0^0·f(x1,...,xn) y se cumpliría
Pero este tema es muy controvertido, suele preferirse 0^0=1 con lo cual tendríamos el absurdo de que las únicas funciones homogéneas de grado 0 serían las constantes.
Y no es así, hay funciones homogéneas de grado 0 distintas de las constantes, lo que pasa es que las que yo conozco no están definidas en (0,0,... 0)
f(x,y) = xy / (x^2-y^2)
f(tx,ty) = t^2·xy / (t^2·x^2-t^2·y^2)= xy/(x^2-y^2)
f es homogénea de grado 0 pero en (0,0) no esta definida
f(0,0) = 0·0 / (0^2 -0^2) = 0/0
Y por eso no podemos usar la fórmula de la homogénea con t=0
En resumen.
1) Al menos para las homogéneas de grado cero hay que excluir el valor t=0 en la fórmula. 2) Para las homogéneas de otro grado da lo mismo excluirlo o no ya que si se cumple para t distinto de cero también se cumple para t=0
3) En conclusión: Si se quiere hacer una fórmula que valga para todas las homogéneas sin hacer distinciones yo excluiría el valor t=0
Y eso es todo.
