Matemáticas: hallar el volumen de un tetraedro

Los planos que pasan por pero, yo, zo son de la forma
ax + by + cz + d = 0 con axo + byo + czo +d = 0
Supondremos que a, b, c son distintos de cero los tres, porque si no fuera así el plano sería parelelo a algún eje y no lo cortaría y no tendríamos tetraedro. Entonces dividiremos toda la ecuación por a y renombraremos los coeficientes, quedando la ecuación de esta forma:
x + by + cz + d = 0 con xo +byo + czo + d =0
Si restamos la segunda de la primera
x - xo + b(y - yo) + c(z-zo) = 0
Ya solo tenemos dos parámetros b y c para determinar los planos. Veamos cuáles son los cortes con los ejes de un plano de esta clase
Con el eje x ==> y=0 y z=0
x - xo - byo - czo = 0
x = xo + byo + czo
Punto de corte (xo+byo+czo, 0, 0)
Con el eje y ==> x=0 y z=0
-xo +by - byo -czo = 0
y = (xo+byo+czo) / b
Punto de corte (0, (xo+byo+czo)/b, 0)
Con el eje z ==> x=0 e y=0
-xo - byo + cz - czo = 0
z = (xo+byo+czo) / c
Punto de corte (0, 0, (xo+byo+czo)/c)
El determinante que salía en la wikipedia de estos puntos solo tiene distinto de cero la diagonal principal, por lo que el volumen del tetraedro será:
V = (1/6) (xo+byo+czo)^3/bc
Hagamos las derivadas parciales respecto a b y c
&V/&b = [3bcyo(xo+byo+czo)^2 - c(xo+byo+czo)^3] / bc
&V/&c = [3bczo(xo+byo+czo)^2 - b(xo+byo+czo)^3] / bc
Hay que igualarlas a cero para ver los máximos o mínimos relativos.
De la primera obtenemos
3bcyo(xo+byo+czo)^2 - c(xo+byo+czo)^3 = 0
[(xo+byo+czo)^2] [3bcyo -c(xo+byo+czo)] = 0
Si xo+byo+czo = 0 ==> El plano pasa por el origen y no se ha hecho un tetraedro como Dios manda, luego el cero es el segundo factor
3bcyo -c(xo+byo+czo) = 0 Y podemos dividir por c que era distinto de cero
1) 3byo - (xo+byo+czo) =0
Y de la segunda derivada parcial tenemos
3bczo - b(xo+byo+czo) = 0
2) 3czo - (xo+byo+czo) = 0
Ahora igualando 1) y 2)
3byo = 3czo ==>
c =byo/zo
Vamos con ese valor a 1)
3byo - (xo+byo+byo) = 0
3 byo - xo - 2byo = 0
byo = xo
b = xo/yo
c = (xo/yo)(yo/zo) = xo/zo
Y el volumen es
V = (1/6) (xo+xo+xo)^3 / (xo^2/yo·zo) = (9/6) xo^3/(xo^2/(yo·zo))

V= (27/6)xo·yo·zo
Y ese es el volumen. Y es lógico que así sea, me da buenas sensaciones que en la expresión jueguen igual papel pero, yo, y zo, porque así tenía que ser.
Un saludo.
Ya una vez levantado se ven más claras las cosas.
Lo primero es que es sencillo ampliar el volumen a cualquier punto (x0, yo, zo) mediante el valor absoluto.
V= (9/6)|xo·yo·zo|
Lo segundo que la ecuación del plano es tan sencilla como esta:
x/xo + y/yo + z/zo + 3 = 0
Y lo tercero que me ha quedado con las ganas de demostrar o comprobar que está bien la fórmula. Y algo de eso voy a intentar.
Si tomamos el punto (1, 1, 1), es lógico que el plano no tenga motivo para tirar hacia ningún sitio y sea equivalente para las tres variables, luego sería;
x+y+z-3=0 para que pase por (1,1,1)
Los cortes con un eje serían cuando valga 0 en los otros dos luego
(3, 0, 0) (0, 3, 0) y (0, 0, 3)
V = 27/6
Y funciona bien para el punto (1,1,1)
¡Jo, no he entendido casi nada de tu demostración! Tendré que mirarla bien!
Me voy ya a dormir.

Un favor responde para elimininar esta pregunta ya que te mande 2 veces lo mismo.
Saludos.

Considero que en tu procedimiento hay errores .Por ejemplo.
&V/&b = [3bcyo(xo+byo+czo)^2 - c(xo+byo+czo)^3] / bc
&V/&c = [3bczo(xo+byo+czo)^2 - b(xo+byo+czo)^3] / bc
En esta parte creo que la forma corecta sería
&V/&b = 1/6[3bcyo(xo+byo+czo)^2 - c(xo+byo+czo)^3] / (bc)^2
&V/&c = 1/6[3bczo(xo+byo+czo)^2 - b(xo+byo+czo)^3] / (bc)^2
¿Es así o me equivoco?
Lo segundo que la ecuación del plano es tan sencilla como esta:
x/xo + y/yo + z/zo + 3 = 0¿esta es la ecuacion del plano?
Como me dices que te quedaste con las ganas de demostrar la fórmula entonces te doy la oportunidad para que la demuestres
Un saludo...

Si, falta el 1/6, pero eso no altera el resultado pues lo único que hemos hecho ha sido igualarlo a cero con lo que el 1/6 o el 10^2345 son prescindibles.
Y si, la segunda es la ecuación del plano que pasando por pero, yo, zo hace que el dichoso tetraedro tenga el mínimo volumen posible. Salvo que me parece que me volví a equivocar al escribirlo, la auténtica es:
x/xo + y/yo + z/zo - 3 = 0
Con el signo menos.
Yo ya la doy por demostrada. La derivadas parciales se anulan en un único punto b=xo/yo y c=xo/zo y no es máximo porque podemos hacer que un tetraedro tenga tanto volumen como queramos, luego es mínimo.

Hola valeroasm!
Tu procedimiento está bien, pero quisiera que verifiques mi respuesta a la pregunta que te envié en otra pregunta. Según lo que me dices es que la ecuación del plano tal que el volumen sea mínimo es: x/xo + y/yo + z/zo - 3 = 0¿Verdad?
En mi respuesta anterior yo demostré que la ecuación del plano para cualquier punto P es: x/xo + y/yo + z/zo =1 ¿Está bien mi demostración?
Tu has optado por llegar a hallar el volumen la fórmula en función de matrices, yo llegué con análisis identifique que un tetraedro es una pirámide de base triangular y aplique su fórmula para hallar el volumen. ¿Un tetraedro es una pirámide de base triangular? Si fuese así entonces ¿podría hallar el volumen del tetraedro con la fórmula de la pirámide?
Te preguntarás y como llegue a hallar el volumen mínimo sabiendo la ecuación del plano.
Te responde que fue hllando las medias ¿puedo emplear estas desigualdades? ¿No es cierto que se llega a la misma respuesta?. Pero ¿cómo es que llegamos a la misma respuesta si tenemos distintas ecuaciones del plano?
Un saludo

Tu demostración me dejo anonadado, solo comprendí un poco del principio donde calculabas el volumen de un tetraedro, después me perdí y ya llevaba muchas horas de falta de sueño. Es por eso que tendría que ponerme con muy buena disposición para entenderla.
Yo insisto en mi ecuación del plano. Y la tuya no puede ser porque el punto (x0, yo, zo) no verifica la ecuación del plano. Tú fíjate que pasa al evaluar ese punto :
xo/xo + yo/yo + zo/zo = 1+1+1 = 3 que es distinto de 1
Si, un tetraedro es una pirámide de base triangular y por tanto sirve la fórmula del volumen de la pirámide para el tetraedro.
Pero tu cálculo de ese volumen no lo veo nada claro. El área de la base se calcula como el módulo del producto vectorial de los vectores que has llamado a y b. Este producto vectorial es
z3y2·i + x1z3·j + x1y2·k
Area base = (1/2) sqrt[(z3y2)^2 + (x1z3)^2 + (x1y2)^2]
Luego dices que h es |z3|. Pues no la altura no es cálculo tan simple como eso.
La altura es la distancia mínima del plano al origen.
El plano es perpendicular al producto vectorial de a y b, luego tiene la forma
z3y2x + x1z3y + x1y2z + d = 0
Como debe pasar por (0,0,z3) ==> 0 + 0 + x1y2z3 + d = 0 ==> d = x1y2z3
Luego la ecuación del plano es
z3y2x + x1z3y + x1y2z - x1y2z3 = 0
Y la distancia del origen a este plano es
h = |x1y2z3| / sqrt[(z3y2)^2 + (x1z3)^2 + (x1y2)^2]
Ahora si tenemos bien definida la altura y podemos calcular el volumen del tatraedro
V = (1/3)(Area Base)(altura) = (1/3) (1/2) sqrt[(z3y2)^2 + (x1z3)^2 + (x1y2)^2] ·
|x1y2z3| / sqrt[(z3y2)^2 + (x1z3)^2 + (x1y2)^2] = (1/6)|x1y2z3|
Pues como entonces no tuve agallas para hacer todos estos cálculos, por eso tome la fórmula de la wikipedia. Que además es mucho más general porque loa puntos A, B, C no es necesario que estén sobre los ejes, sirve para cualesquiera siempre que el DE sea el origen.
Después calculas la ecuación del plano, pero yo creo que ya debías haberla calculado antes, tal como yo ahora que la he necesitado para calcular h.
Dices que esa ecuación del plano es distinta de la mía. Bueno, dependen de parámetros distintos, pero son el mismo, hay un único plano que hace que el volumen del tetraedro sea mínimo.
Y la parte de la media aritmética y geométrica no la entiendo tampoco. Cuanto menos hay unas elipsis más que notables
(xo/x1+ yo/y1 +zo/z3)/3>=sqrt[(xo.yo.zo)/(x1.y2.z3)]
1/27>=(xo.yo.zo)/(x1.y2.z3)
1/27=b y (xo.yo.zo)/(x1.y2.z3)=a, Sea a>=0 y b>=0 entonces
|b|>|a| De esto llego a la respuesta.
V = (27/6) |xo · yo · zo|
¡Eureka! Ahora veo la luz un poco.
Pones sqrt[(xo. Yo. Zo)/(x1.y2.z3)], pero sqrt significa raíz cuadrada y debías haber puesto raíz cubica, que eso es la media geomçetrica de tres números. Esta parte final debería ser así:
(xo/x1+ yo/y1 +zo/z3)/3>=[(xo.yo.zo)/(x1.y2.z3)]^(1/3)
Como xo/x1+ yo/y1 +zo/z3 = 1
1/27 >= (xo.yo.zo)/(x1.y2.z3)
Como V = (1/6)x1y2z3 ==> V >= (27/6) |xo·yo·zo|
Pues está muy bien. Pero veo la mal la parte esa del área de la base y la altura. Y la errata de la raíz cubica que escribes como cuadrada que me ha vuelto loco.
Y eso es todo.

Tienes razon me equivoque no debí colocar sqrt sino raiz cúbico pero al fin y al cabo llego a la respuesta.Tú me afirmas que puedo emplear la propiedad de medias¿verdad y que la division es positiva?.Bueno al parecer lo que me dices es cierto ya que alevaluar xo=x1; yo=y2; zo=z3 entonces no se verifica y sería 3.En el problema x1,y2,z3 son sólo puntos de corte del plano con los ejes,además el punto que tú dices (x1,y2,z3) no es punto que esté contenido en una de las caras del tetraedro.Como te puedes dar cuenta es un punto exterior entonces ¿no lo puedes evaluar verdad?.Asi creo entonces tu ecuacion del plano sería errónea,sin embargo no sé cómo llegas a la respuesta porque se supone que debería salir la misma respuesta.
Ojo creo que mi altura no está mal halla ni el área de la base, ya que para calcular el volumen de un tetraedro puedes tomar hasta 4 bases distintas y también 4 alturas relativas distintas respectivamente.Tu has confundido y has pensado que el área que he tomado fue la que forma el a yb, más no es así ya que sería más complicada entonces tome como área la cara en el plano xy y la altura tu ya deduces que es |z3| ya que esta es la distancia perpendicular al plano XY.
Reafirmar ¿cómo con otra ecuación del plano que tu has hallado has llegaso a la misma respuesta?.
Saludos.

Lo estuve pensando esta noche y pensaba comprobar que hallabas el volumen con otra base y altura que la que yo pensaba. Pero la que yo pensaba viene inducida por lo que escribes:
Sea a, y b 2 vectores:
a=BA=(x1,0,-z3)
b=BC=(0,y2,-z3).
[[Norma de un vector:|| || ]].
Ab=(||a||.||b||)/2 , h=|z3| entonces,
V=(1/3)(|x1|.|y2|.|z3|)/2
V=(1/6)(|x1|.|y2|.|z3|)
Si mencionas esos vectores a y b es lógico pensar que son los que vas a utilizar para calcular el aréa de la base a través de su producto vectorial. Entonces la altura es complicada de calcular.
Si lo haces con la altura |z3| los vectores a y b que deberías haber mencionado son
a=(x1, 0, 0)
b=(0, y2, 0)
Y de tan sencillo que es calcular el área de la base como |x1 · y2 · z3| ni siquiera tendrías que haber mencionado lo de los vectores, las normas y el producto vectorial que lo que hacen es liar todo. Por eso yo eliminaría toda esa referencia y diría simplemente que el área de la base se calcula como la de un triangulo rectángulo de catetos x1, y2. Es decir Ab=|x1 · y2|/2.
Otra cosilla. A cualquier matemático que le plantees este problema te lo va a resolver como yo. Lo de usar la media aritmética y geométrica es algo que solo se le puede ocurrir a uno si sabe que ese problema está en la misma hoja del libro que se habla de eso de las medias.
Sobre que las ecuaciones del plano son distintas. Yo te digo que la ecuación de un plano no es única, puede ir multiplicada por una constante.
En tu desarrollo no veo que en ningún punto aparezca la ecuación del plano. Dime antes cual es tu ecuación del plano y así haré comparativas.

Primeramente no vayas a pensar que puse por gusto los vectores a y b, lo puse así para hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C, tú me preguntaras cómo con esos vectores a y b hallaste la ecuación de ese plano, primero sabes que el producto vectorial de ay b es perpendicular al plano determinado por estos vectores, segundo he ubicado un punto cualquiera P que está ubicado en la cara ABC del tetraedro, tercero con ese puntoP y el punto A obtengo un vector que está contenido en la cara ABC del tetraedro y como es un vector ubicado en esa cara entonces será perpendicular al producto vector que resulta de a*b[[a*b producto vectorial de a y b]], debido a que ese producto a*b es perpendicular a cualquier vector ubicado en esa cara ABC, cuarto como los vectores a*b y el vector AP son perpendiculares entonces aplico la definición de producto escalar.Por definición el producto escalar de 2 vectores perpendiculares es cero. ¿No es cierto que a partir de este producto escalar obtengo la ecuación del plano?
Ahora P(xo,yo,zo) entonces desarrollando el producto escalar tenemos la ecuacion del plano:x/xo + y/yo + z/zo =1 .Por si las dudas verifica que el resultadode ese producto escalar sale así, yo creo que te vas a sorperender porque sí sale así.
Recalcando lo que tú me dices que sí evaluo x=xo; y=yo, z=zo entonces no cumple con la condicion dada, pero ahora analiza ese punto(xo,yo,zo) no pertenece a la cara ABC¿Verdad? Entonces no es un punto de ese plano.
Aquí en este problema yo puedo aplicar las medias ¿verdad?
Ya que considero que no habría ningún problema ya los números :x/xo; y/yo; z/zo siempre van a ser positivos; aplicando MA>=MG tenemos la respuesta verdad
V >= (27/6) |xo·yo·zo| y cómo queremos el mínimo entonces V = (27/6) |xo·yo·zo|.
Saludos.

Si, pero con la línea
Ab=(||a||.||b||)/2 , h=|z3| entonces,
Me tuviste horas y horas pensando.
Debías haber presentado esos vectores má abajo, donde calculas la ecuación del plano aunque no llegas a expresarla en ningún momento.
Repasaré esta noche todo eso que dices del plano. Pero lo que digo y mantengo es que tu plano no pasa por el punto (pero, yo, zo) y el mío si. Y es una pena porque tienen el mismo vector director y quizça por eso salga el mismo resultado. Pero solo uno de los dos o ninguno puede ser el verdadero.
Ahora si me voy que se me hace tarde.