¿Cómo se hace este ejercicio?
Como calcular el perímetro del área sombreada de la siguiente imagen.
1 Respuesta
¡Ojo que el dibujo engaña mucho! Pero mucho, mucho. Dice que hay 120º donde apenas hay 60º, el triángulo es mucho más ancho y menos alto.
Taza la altura del triángulo. Te quedan así dos triángulos rectángulos con base 10 m cada uno y el ángulo superior se divide en 60º para cada uno. La hipotenusa es a la vez el radio de la circunferencia, llamémosla r
El seno de un ángulo se define como el cateto opuesto entre la hipotenusa
sen 60º = 10/r
r = 10/sen 60º= 10/(sqrt(3)/2) = 20/sqrt(3) m
Y ahora podemos calcular la altura que es
altura = r·cos 60º = [20/sqrt(3)]·(1/2) = 10/sqrt(3) m
Luego ya tenemos la base y la altura del triángulo y podemos calcular su área
área triángulo = 20·[10/sqrt(3)] / 2 = 100/sqrt(3) m^2
Y el área del sector circular de 120º es una tercera parte del área del círculo. Será:
Área sector = (1/3)Pi·r^2 =
= (1/3)Pi [20/sqrt(3)]^2 = (400/9)Pi m^2
Y el área sombreada es la diferencia entre la del sector circular y la del triángulo.
Área sombreada = (400/9)Pi -100/sqrt(3) m^2
Bueno, esa es la expresión exacta, pero mejor si la aproximamos decimalmente para hacernos una idea.
Área sombreada = 81.89131324 m^2
Que en el dibujo parece que sea mucho menos por el defecto que tiene.
Y eso es todo.
Ok , muchas gracias lo entendí , quería preguntarte ahora si en ves de sacar el área quiero sacar el perímetro esta bien esto? :
180 - pi
120 - 2/3 * pi
L = 2/3 pi * r
L = 2/3 pi * 11,55
L= 77/10 * pi
P = L + 20 (sumo la longitud del arco con la base del triangulo)
P = 77/10 * pi + 20
P = 44,19
¡Ah perdona!
Simplemente por el dibujo pensé que lo que pedían era el área y no me fije que lo que pedían era el perímetro.
Es distinto y sobran bastantes cosas que he hecho, no hace falta calcular la altura del triángulo, simplemente hace falta calcular el radio. Sería algo así:
Traza la altura del triángulo. Te quedan así dos triángulos rectángulos con base 10 m cada uno y el ángulo superior se divide en 60º para cada uno. La hipotenusa es a la vez el radio de la circunferencia, llamémosla r.
El seno de un ángulo se define como el cateto opuesto entre la hipotenusa
sen 60º = 10/r
r = 10/sen 60º= 10/(sqrt(3)/2) = 20/sqrt(3) m
Ahora calculamos la longitud del arco.
longitud arco = 2·Pi·r (120/360) = (2/3)Pi r =
(2/3)Pi[20/sqrt(3)] = [40/3sqrt(3)]Pi = 24.184 m
Perímetro = base + long. arco = 20+24.184 = 44.184 m
No sé cómo has dado este paso, ¿Puede que te lo haya dicho la calculadora?
L = 2/3 pi * 11,55
L= 77/10 * pi
pero está bien, es exacto.
La diferencia que sale con lo que hice yo es que tomaste r=11.55.
Tomando 11.547 sería más parecida la respuesta
2/3PI*11,547 = 7.698Pi = 24.18398 m
perímetro = 20 + 24.1839 = 44.18398 m
Y eso es todo. Perdona, pero estaba convencido que pedías el área, porque ya me han pedido un par de veces ese tipo de problema.
