Altura de un segmento circular dada el área

Es difícil explicar esto sin un dibujo. Estoy considerando un círculo, donde el petroleo está en la mitad inferior, y el resto es gas. (La mayoría del área es ocupada por el gas)
Construye un triángulo isóceles con vértices en el centro de la circunferencia, y las puntas donde se unen el gas y el petroleo.
El ángulo que es distinto de los otros en ese triángulo es:
alpha=A*360/(pi*r^2)
Donde A es el área del petroleo, y r el radio de la circunferencia (ambos conocidos)
Con el teorema del coseno puedes calcular el lado opuesto a este ángulo (el lado más grande del triángulo):
lado=raiz(2r^2-2r^2*cos(alpha))=raiz(2)*r*raiz(1-cos(alpha))
Con eso conoces los 3 lados del triángulo.
Ahora dibuja la altura h del triángulo (que es el dato que necesitas) y formarás 2 triángulos rectángulos igualles, donde coneces un lado (lo acabas de calcular) y su hipotenusa (el radio de la circunferencia), y con pitágoras encuentras la altura, con lo que tienes solucionado el prob.
Espero te haya quedado claro (es muy difícil explicar esto sin dibujo)
Si te quedó alguna duda vuelve a preguntar,
si no, te pido no olvides evaluar mi respuesta,
éxito,
Mathtruco.

Hola mathtruco, te agradezco muchísimo por tu rápida respuesta. Entendí todo lo que me explicaste sin necesidad del dibujo, sin embargo creo que tuviste un pequeño error con la fórmula de alfa que utilizaste, ya que el área a utilizar en esa fórmula (que tu tomaste como el área del petroleo) no es el área del petroleo, la fórmula que utilizaste trabaja con el área del sector circular (que no es lo mismo que un segmento circular), el sector es como un pedazo de pizza, mientras que el segmento (área del petroleo) no incluye al triangulo, sino al espacio entre la cuerda y el arco. En fin he leído que el área del segmento es calculada restándole el área del triangulo al área del sector circular (la fórmula que tu utilizaste) he intentado desarrollar por esa vía, tratando de dejar la fórmula en función de la altura que necesito, pero se me hace indespejable. ¿Existirá alguna forma de llegar al resultado final con los datos disponibles? (Las 2 áreas del liquido y el gas y el diámetro) te agradecería muchísimo si pudieras encontrar una solución, ya que yo no he podido.
Gracias!
Alberjob.

Uff.. tienes razón, disculpa, me apuré mucho. Pero la idea me parece va por ahí.
No veo como encontrar solución exacta (de hecho he googleados para encontrar la fórmula sin encontrarla, y las fórmulas geométricas si existen por lo general son fáciles de encontrar)
Como estás haciendo un programa puedes encontrar la solución aproximada (tan aproximada como quieras, si quieres con un error de 0.0000000000001).
Lo puedes hacer de la siguiente forma:
A:Área del petroleo (que es conocida)
AT: Area triángulo isóceles
AP: Area del trozo de pastel (la fórmula que estaba en mi post anterior)
Del dibujo se observa que;
AP-A=AT
pi*r^2*alpha/360-A=base*altura     .......(*)
por el teorema del coseno:
base=raiz(2r^2-2r^2*cos(alpha))=raiz(2)*r*raiz(1-cos(alpha))
Altura=sqrt(r^2-base^2) (donde reemplazas 'base' por la expresión anterior para que esté en función de alpha)
Si reemplazas todo en la ecuación (*) tienes una ecuación no lineal, donde la única incógnita es alpha, que puedes determinar por algún método numérico (como el de bisección, que no es el método más rápido, pero siempre converge a la solución).
Si tienes problemas para emplear el método numérico puedes volver a preguntar, o algo probable es que lo que el lenguaje que estás usando tenga los métodos numéricos más usados (como los de tu problema).
De todas formas buscaré la sol exacta, aunque 'me parece' que no existe, y si pensamos que mantener el petroleo totalmente quieto en el estanque es imposible, es muy posible que calcular el área que ocupa también, así que un error de 0.000001 ...
Eso..

Hola mathtruco, gracias por tu valioso aporte, entendido a la perfección, tienes razón, la única forma que creo posible tiene que ser por un método numérico que te ayude a conseguir un valor indespejable. ademas de tu opcion aportada yo tambien habia seguido desarrollando y trabajando en funcion de beta (mitad de alfa) y dije que el area del pedazo de pastel AP=((pi*(r^2)*2beta)/360) si a esa area le resto el area del triangulo (sabiendo que, base=2*r*sen(beta)............ altura=r*cos(beta)) tengo que AT= (2*(r^2)*sen(beta)*cos(beta))/2..... al restar AP-AT obtengo A (area del petroleo) simplificando un poco A=((pi*(r^2)*beta)/180)-((r^2)*sen(beta)*cos(beta)) donde mi unica incognita es beta, ya que conozco A y r, encuentro beta a traves de un metodo numerico, luego con un simple coseno de beta multiplicado por r encuentro la distancia entre el centro y el tope del petroleo, que al restarsela al radio me arroja la altura, el mismo principio de tu idea. Encontré también en un libro la siguiente fórmula: alfa=2*atan(h/(raiz(2*h*r)-h^2)) donde alfa estaría en radianes y h es la altura del petroleo que yo necesitaba (desde la cuerda al arco) por allí también se puede desarrollar otra solución. Y bueno otra fórmula más para el montón que debes tener tu almacenadas, por si alguna vez la llegaras a necesitar. Muchísimas gracias por la excelente ayuda brindada y por tu atención mathtruco, si tengo otro problema no dudaré en volverte a consultar, saludos,
alberjob