División algebraica teniendo como dato el residuo y la suma de coeficientes del cociente

Si, tiene que ser como dices. De otra forma sería un ejercicio infernal, aun así puede que lo sea,

Confírmame si es esto

$$\frac{\frac{1}{b^2}x^{51}+\frac{1}{a^2}x^{50}}{3x-1}=c_ox^{50}+c_1x^{49}+···+c_{49}x+c_{50}$$

Gracias por responder, bueno esta bien escrito la división y el cociente

quiero aclarar que como existe un residuo no cumpliría la igualdad,debido a que el residuo es -5 y la suma de los coeficientes del cociente es = 2/a + 1/b como hallo a + b gracias

Pero el algoritmo de la división dice

dividendo = divisor x cociente + resto

(1/b^2)x^51 + (1/a^2)x^37 + 2x - 2 = (3x-1)( c0x^50 + c1x^49 + ...+c50) - 5

Si evaluamos esta expresión en x=1 tendremos

1/b^2 + 1/a^2 + 2 - 2 = 2(suma coeficientes) - 5

1/b^2 + 1/a^2 = 2(2/a + 1/b) - 5

1/b^2 + 1/a^2 = 4/a + 2/b -5

Podemos poner la división entre (3x +1) de esta otra forma tras dividir numerador y denominador entre 3

{[1/(3b^2)]x^51 + [1/(3a^2)]x^37 + (2/3)x -2/3 } / (x - 1/3)

Cuando se hace esto el resto se divide entre 3 ya que si

D = cd + r

entonces

D/3 = c·(d/3) + r/3

Luego el resto de esa división será -5/3

Por el teorema del resto, el resto de dividir -P(x) / (x-r) es P(r) luego

[1/(3b^2)](1/3)^51 + [1/(3a^2)](1/3)^37 + (2/3)(1/3) -2/3 = -5/3

[1/(3^52)](1/b^2) +[1/(3^38)](1/a^2) = -1 - 2/9 = -11/9

Pero esto es imposible, a la izquierda tenemos dos sumandos positivos y el resultado de la derecha es negativo.

Luego no hay soluciones reales.

Y eso es todo.