Simplificación de una fracción algebraica

Existe un método general para factorizar los trinomios y es lo primero que había hecho, pero no es muy sencillo de explicar por escrito. Así que antes de usarlo probaremos lo fácil que es que cada trinomio pueda dividirse por el binomio opuesto. Admás esto entronca con la división entera de polinomios que hace poco me mandabas ejercicios:

 2a^2 + ab -6b^2  | a + 2b
                   ----------------
-2a^2 -4ab 2a - 3b
-----------
  0 -3ab 
      +3ab +6b^2
      ----------
        0 0

La divisíón ha dado un resultado exacto luego podemos poner el cociente como numerador

 3a^2 - ab -2b^2 | a - b
                   -------------
-3a^2 +3ab         3a +2b
----------
  0   +2ab
      -2ab +2b^2
      ----------
        0 0

Tambén esta da exactra, podemos ponwer el ociente comop denominador ya que hemos hecho la inversa de la división que aparecía en la expresión

Con todo esto la solución es:

(2a - 3b) / (3a + 2b)

Te dejo con lo que escribí al principio por si quieres mirarlo. Puede servir para casos donde lo anterior no sirvió y tengan algún factor común los dos trinomios.

Es que no me parece nada fácil. No sé si tendrás el método en el libro, yo no recuerdo haber hecho ejercicios de este tipo en la suficiente proporción como para acordarme. Se formas en las que se puede probar pero no sé si habrá un método directo y sencillo.

Por la forma que tienen los trinomios está claro que son un producto del tipo

(xa + yb) (za + tb) = xza^2 + xtab + yzab + ytb^2 = xza^2 + (xt+yz)ab + ytb^2

De lo cual deducimos tres ecuaciones para cada trinomio

TRINOMIO PRIMERO

2a^2 + ab - 6b^2

luego

xz=2

xt+yz=1

yt =-6

Por supuesto que vamos a suponer que x, y, z, t son números enteros, si no que lo resuelvan ellos.

Haremos x=1, z= 2 para que xz=2
Y para que yt sea -6 el par (y, t) podrá ser
(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3), (3, -2) o (-3, 2)
Ahora habría que ir probando cual cumple la ecuación segunda con cuidado de no liarse. Las pruebas pares se calculan cambiando el signo a la impar anterior.
x=1, z=2, y=1, t=-6 ==> xt+yz = -6+2 = -4 no la cumple
x=1, z=2, y=2, t=-3 ==> xt+yz = -3 +4 = 1 si la cumple
Luego esa es la solución
2a^2 + ab - 6b^2 = (a+2b)(2a-3b)

TRINOMIO SEGUNDO

3a^2 - ab - 2b^2

xz=3

xt+yz= -1

yt=-2

Hacemos x=1, z=3. No es necesaria la prueba x=3, z=1 porque cambiamos el orden de factores y es lo mismo. Sin embargo, en las incógnitas y, t si que se deben contemplar las dos posibilidades porque ya no podremos cambiar el orden y que quede todo igual, perderíamos soluciones posibles sino contemplamos las dos.

El par (y, t) puede ser (1, -2) o (-1,2)

x=1, z=3, y=1, t=-2 ==> xt+yz = -2+3 = 1 No cumple

Cumple el siguiente que tiene sinos de y,t cambiados, luego x=1,y=-1,z=3,t=2

3a^2 - ab - 2b^2 = (a-b)(3a+2b)

Yo pienso que esto era lo más difícil y no creo que ahora tengas problemas para terminarlo. Si no lo consigues me lo dices. Ya te digo que si en el libro te enseñan un método más sencillo úsalo.

Y YA VOLVEMOS AL PRESENTE