Ejercicio de independencia lineal
He tenido dificultades con ciertos ejercicios de independencia lineal asi que acudo a ti para que me expliques como se solucionan.
Dicen asi:
Supóngase que v1, v2, v3 son vectores en R^3 cuyos puntos iniciales están en el origen. En cada inciso, determinar si los tres vectores son coplanares (que son coplanares)
a) v1= (2,-2,0) v2= (6,1,4) c) v3=( 2,0,-4)
b) v1= (-6,7,2) v2= (3,2,4) c) v3=( 4,-1,2)
1 Respuesta
Coplanares significa que están el mismo plano.
Dados dos vectores del espacio R^3 siempre hay un plano que los contiene. Entonces, si añadimos otro, serán coplanares los 3 si este tercer vector está en el mismo plano que los otros dos.
Si este tercer vector está en en plano de los dos primeros se puede escribir como combinación lineal de ellos y entonces los tres vectores son dependientes.
Luego el problema se soluciona así. Si los tres vectores son independientes no son coplanares y si son dependientes son coplanares.
Y la prueba de que tres vectores sean o no dependientes se hace con el determinante. Supongo que ya lo habréis estudiado y se podrá hacer así. ¿Me lo confirmas?
valeroasm lo del determinante lo se pero pregunto ¿ es la única manera de resolverlo? o se podría aplicar otro método.igual casi no me acuerdo de determinantes asi que te pid oque por favor me colabores con eso.
El determinante es el método más sencillo y rápido. También se puede plantear una ecuación pero es mucho más trabajo.
Serán coplanares si y solo si son linealmente dependientes, y son linealmente dependientes si y solo si el determinante es cero.
Para el determinante de orden tres no es necesario que sepas mucho salvo la fórmula . Las diagonales hacia la derecha con signo mas y las diagonales hacia la izquierda con signo menos, cuando se acaba la diagonal se continua por el lado contrario
$$\begin{vmatrix}
2&-2&0\\
6&1&4\\
2&0&-4
\end {vmatrix}=
\\
2·1·(-4)+(-2)·4·2+0·6·0 - 0·1·2-(-2)·6·(-4)-2·4·0=
\\
-8-16+0-0-48-0= -72$$Como es distinto de cero son linealmente independientes y no son coplanares.
$$\begin{vmatrix}
-6&7&2\\
3&2&4\\
4&-1&2
\end{vmatrix}=
\\
(-6)·2·2+7·4·4+2·3·(-1)-2·2·4-7·3·2-(-6)·4·(-1)=
\\
-24+112-6-16-42-24 =0$$Como el determinante es cero, son linealmente dependientes y son coplanares.
Y eso es todo.
