¿Cuál seria la interpretación geométrica de determinantes de 2x2?

Si pensamos en las columnas del determinante 2x2 (o de la matriz 2x2), como las componentes de un vector del plano por y
|x1 x2|
|y1 y2|
tenemos un vector (x1;y1) y el otro vector es (x2;y2)
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El determinante resuta ser igual al área del paralelogramo cuyos lados son los vectores (x1;y1) (x2;y2) (o el doble del área del triangulo)
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Es que una vez que pensamos a la matriz como un par de vectores el determinante es el la componente perpendicular al plano del producto vectorial de esos vectores
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Así el el plano tanto el
Área, el producto vectorial y como determinante son conceptos íntimamente relacionados.
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También podes pensar el área del paralelogramo como el producto de la diagonal mayor por la diagonal menor sobre dos.
Vectorialmente la diagonal mayor es la suma de los vectores Digamos (V1+V2)
La diagonal menor es la diferencia entre los vectores
(V1-V2)
Si hacemos el producto vectorial
(V1+V2)^(V1-V2)
Teniendo en cuente que V1^V1=V2^V2=0 (vector cero)
y que V1^V2=-V2^V1
Resulta 2 V1^V2
Que dividido dos da V1^V2
Es decir el producto vectorial:
(x1;y1;0)^(x2;y2;0)=
(0;0;x1y2-x2y1)
Por eso un área suele representarse con un vector perpendicular a la superficie.
Si en lugar de dos vectores en el plano (2x2) tengo tres vectores en el espacio (3x3)
El determinante es igual al volumen del paralelepípedo.
(O el doble del tetraedro)
En general un determinante siempre es la medida de una región del espacio