Topología
Quisiera que alguien me explicara de forma sencilla(y a ser posible intuitiva, mediante ejemplos geométricos en R2) lo que es un compacto, un conexo, un punto de acumulación un dado un conjunto A sunconjunto derivado A.he buscado información pero solo me aparecen unas definiciones que no son muy manejables .muchas gracias
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Respuesta de manolocapi
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Un punto es de acumulación de un conjunto si cualquier entorno centrado en él tiene puntos del conjunto distintos de él. Ej:
(1,2] U {4} el 1, 1.5, 2 son puntos de acumulación, ya que cualquier entorno centrado en ellos tiene puntos del conjunto distintos de ellos.
El 4 no lo sería porque podemos encontrar entornos que no contengan puntos del conjunto distintos de él.
Compacto: Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado, por ejemplo la circunferencia unidad ya que es acotada porque está totalmente contenida por ejemplo en la circunferencia de radio 2.
Conexo: Un conjunto es conexo si no existe ningún subconjunto distinto del total y del vacío que sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo los números reales
Derivado: es el formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto
Por ejemplo: x^2 + y^2 <1 su conjunto derivado sería x^2 + y^2 <ó igual a 1, ya que los puntos de la frontera son de acumulación porque cual quier entorno centrado en ellos contiene puntos del conjunto, aunque no pertenezcan a él.
(1,2] U {4} el 1, 1.5, 2 son puntos de acumulación, ya que cualquier entorno centrado en ellos tiene puntos del conjunto distintos de ellos.
El 4 no lo sería porque podemos encontrar entornos que no contengan puntos del conjunto distintos de él.
Compacto: Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado, por ejemplo la circunferencia unidad ya que es acotada porque está totalmente contenida por ejemplo en la circunferencia de radio 2.
Conexo: Un conjunto es conexo si no existe ningún subconjunto distinto del total y del vacío que sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo los números reales
Derivado: es el formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto
Por ejemplo: x^2 + y^2 <1 su conjunto derivado sería x^2 + y^2 <ó igual a 1, ya que los puntos de la frontera son de acumulación porque cual quier entorno centrado en ellos contiene puntos del conjunto, aunque no pertenezcan a él.
