Calculo de la longitud de la parábola

Si no has visto integrales aún, y no has visto parametrización de curvas esto te va a sonar a chino.. pero esta es la respuesta a tu pregunta..
Idea geométrica: Supongamos una curva cualquiera en el espacio (en tu caso es una parábola en un plano) a la cual se le pega una cuerda de modo que se ajuste exactamente a la curva. Si la cuerda se despega, se enderesa y se mide con una regla recta, se obtiene es valor de la longitud de la curva.
La longitud de una curva parametrizada es:
l=integral(|c'(t)|) evaluada entre a y b (a y b son los extremos de la curva en x donde queremos hacer el cálculo)
En nuestro caso:
1. Parametrizamos la parábola y=(x^2)/20: (el signo ^ significa "elevado a")
hacemos x=t, y=(t^2/20), t un número real
y la parábola queda: c(t)=(t,1/20*t^2)
c'(t)=(1,t/10)
|c'(t)|=sqrt(1+(t^2)/100) (sqrt() es la raiz cuadrada)
así l = integral(sqrt(1+(t^2)/100) evaluada entre -15 y 15.
resolviendo la integral resulta:
15/2*13^(1/2)+10*ln(2)-10*ln(-3+13^(1/2))=38.98926674...
(Ln() es el logaritmo natural)
Como vez, este cálculo no es tan trivial (como en el caso de una recta o circunferencia), y es por eso que en general nunca lo pasa como fórmula cuando se estudia esta figura, sino que se espera hasta que se conozcan bien las integrales.
Si quieres aondar más en el tema, o te quedó alguna duda, no dudes en preguntar.. o bien, no te olvides de evaluar la respuesta ;)
Chao, y felices fiestas.

La ecuación de la parábola que has construido, vamos a escribirla de la siguiente manera:
y = (1/20) x^2
Donde el símbolo ^2 se usa para indicar el cuadrado porque aquí no podemos levantare el dos. Además es lo mismo dividir por 20 que multiplicar por un veinteavo.
El 1/20 que multiplica a la equis cuadrado se llama coeficiente cuadrático. Se lo suele indicar con la letra a.
Entonces en esta parábola es:
a = 1/20
Te hago notar que la parábola, al ser una curva abierta no tiene longitud.
Lo que sí tiene es punto focal y recta directriz.
La parábola se puede construir a partir del punto focal y la recta directriz.
La distancia entre el foco y la recta directriz se llama parámetro que vale p = 1/(2a).
Dicho de otra manera el parámetro es la mitad de la inversa de a.
En este caso el parámetro vale
p=1/(2/20)=10.
El vértice de la parábola esta justo a mitad de camino entre el foco y la directriz .
El vértice de nuestra parábola esta justo en el origen de coordenadas (0;0)
Como el parámetro vale p=10 el foco esta en p/2=10/2=cinco unidades por encima del origen.(0;5) cosa que tu hallaste correctamente.
Asimismo la recta directriz esta p/2=10/2=cinco unidades por debajo del origen (0;-5)
Para que tengas una idea de como influyen te digo que:
Cuanto más grande a y más chico p más -afilada- es la parábola.
Cuanto más chico a y más grande p más -panzona- es la parábola
Nota:
Resulta que la parábola se puede definir como los puntos que están a igual distancia del foco y de la directriz.
Tomemos un punto P cualquiera de la parábola de coordenadas (x; y)
La distancia del punto P al eje de las equis es igual a:
y+5
La distancia del punto P al punto focal (0;5) por el teorema de Pitágoras igual a
Raíz[x^2+(y-5)^2]
Si igualamos ambas distancias tenemos:
y+5=Raíz[x^2+(y-5)^2]
Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado:
(y+5)^2=x^2+(y-5)^2
pasando terminos es
(y+5)^2-(y-5)^2 =x^2
Desarrollando los cuadrados es:
y^2+10 y+5^2-(y^2-10y+5^2) =x^2
Finalmente queda:
10y+10y= x^2
20y = x^2
y = x^2/20
que como ves es la ecuación de tu parábola. Resumiendo esta parábola tiene:
Coeficiente cuadrático
a=1/20
Parámetro
p=10
Distancia del vértice al foco = 5
Distancia del vértice a la directriz = 5
Si en una hoja dibujas el foco y la directriz hay un procedimiento con lápiz y escuadra que te permite ir encontrando puntos de la parábola. Esos puntos son los mismos que puedes encontrar con la ecuación. Por ejemplo tu haces referencia a x=15
Bueno a x=15 le corresponde
y=15^2/20=11,25
Para x=-15 también es
y=11,25
Hasta la próxima y muy felices fiestas.
Eudemo