Halla el volumen generado al girar la región acotada
Halla el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y
$$a) y=x^2, y=0, x=1, x=2$$
Tengo por respuesta lo siguiente
$$\int_1^2\pi x x^2 dx = \frac{15\pi}{2}$$Pero me piden realizar un bosquejo de la región calculada
1 Respuesta
Igual que antes, como gira alrededor del eje Y la función debe expresarse en función de y y será x=f(y)
En concreto
x = sqrt(y)
La parte de abajo se obtiene como diferencia de dos cilindros, la de arriba como la diferencia entre el cilindro exterior y el hueco que hace el el centro la función. Los límites para esta segunda parte son de Y=1 a y=4
El volumen de la pieza hasta 1 de altura es
Pi·2^2·1 - Pi·1^2·1 = 3Pi
El cilindro exterior por la parte entre y=1 e y=4 es
Pi·2^2·3 = 12Pi
Y solo nos falta calcular el volumen que genera la función entre y=1 e y=4
$$\begin{align}&V_f=\pi\int_1^4 [f(y)]^2dy =\\ &\\ &\pi \int_1^4ydy = \pi\left[\frac{y^2}{2} \right]_1^4 =\\ &\\ &\pi\left(8-\frac 12 \right)=\frac{15\pi}{2}\end{align}$$Luego el volumen de la zona entre y=1 e y=4 es
12pi - 15pi/2 = (24-15)pi/2 = 9pi/2
Y el volumen inferior y el superior son
3pi + 9pi/2 = 15pi/2
Lo que veo es que la respuesta que me dices está bien, pero la integral que pones no tiene nada que ver con el volumen, si la calculas da algo distinto. Aparte que no se resuelva solo con una integral sino que hay que calcular otros volúmenes a mano. Espero que comprendas el método que te estoy enseñando, es el método que hay que emplear salvo pequeños matices.
Y eso es todo.
