Parametrización de curvas

Aunque no lo expliquen bien voy a seguir el guión de la Wikipedia y asi tienes el gráfico en movimiento y las fórmulas.

Hipocicloide Wikipedia

Allí llaman r1 al radio de circunferencia grande y r2 al de la pequeña interior.

Y llaman alfa al ángulo que forma la recta que pasa por los dos centros con el eje X.

Y llaman gamma al ángulo que forma la recta que pasa por el punto que pinta y el centro de la circunferencia pequeña. Yo los llamare a y g para abreviar escritura

Entonces el centro de la circunferencia pequeña describe una circunferencia de radio r1-r2, por eso las ecuaciones paramétricas del ese centro son

x = (r1-r2)cosa

y = (r1-r2)sen a

Vale, ya veo que los de la Wipkipedia se han descolgado porque tienen la funciones contrarias, han tomado otro ángulo alfa, lo han debido tomar con respecto al eje Y. Pues no, yo lo dejo respecto al eje X+ que es como se hace siempre y me reafirmo en las ecuaciones que han puesto.

Y una vez conocido el centro de la circunferencia pequeña el punto que pinta estará situado según el ángulo que forma este dentro de su circunferencia. Sumando las coordenadas con centro con las coordenadas relativas a es centro del pinto que pinta tenemos la ecuación del hipocicloide

x = (r1-r2)cosa + r2·cosg

y = (r1-r2)sena + r2.seng

Desde luego tiene delito la Wikipedia, no toman los ángulos estándar y no nos dicen cuáles han tomado.

Pero eso tiene dos parámetros a y g, con lo cual sería una superficie. Y lo que tenemos es una curva. Lo que sucede es que las ángulos a y g están relacionados entre si.

La longitud que recorre la circunferencia interna la recorre sobre la grande

Si la pequeña ha recorrido g radianes suyos la longitud ha sido

g·R1

Y eso debe ser igual a lo recorrido sobre la grande

a·R2

Pero mientras a empieza en cero y crece g empezá en cero y decrece

Luego

g·r1 = -a·r2

g = -ar1/r2

Con lo cual la ecuación del hipocicloide es

$$x=(r_1-r_2)\cos\alpha+r_2cos \left(\frac{\alpha r_1}{r_2}\right)$$

Y no he puesto la de la y porque está mal, hice la gráfica y era otra figura que hace lazos en los vértices. Pues estoy sorprendido y no encuentro cuál es mi fallo. Dame tiempo, días, semanas lo que sea, estoy colapsado de preguntas y no puedo cebarme ahora con esta porque dejaría de atender a mucha gente.