Números complejos y ecuacion logaritmica

Entonces tenemos 2 respuestas complejas pero son las de y, no las de x. Debemos extraer las raíces cuadradas de cada uno de los dos números complejos para despejar x.

La raíz cuadrada puede hacerse en forma normal resolviendo ecuaciones o en forma polar. Si es una raíz cúbica o superior ya solo es viable hacerlo en forma polar.

Haciéndolo en forma polar habría que evitar la calculadora y usar fórmulas trigonométricas, porque si no perderemos le representación real exacta y nos quedaremos con 10 decimales, 20 o los que sean, pero no es lo mismo.

Puede que en libro tengas la fórmula que bastaría con aplicarla y ya está, pero vamos a decucirla por si acaso.

Sea el número complejo a + bi, vamos a calcular sus raíces cuadradas.

$$\begin{align}&\sqrt{a+bi}=x+yi\\ &\\ &a+bi = x^2 + 2xyi + y^2i^2= x^2-y^2 + 2xyi\\ &\\ &\text {Igualamos las partes realese e imaginarias}\\ &\\ &x^2-y^2 =a\\ &2xy=b \\ &\\ &\text {Despejamos }x^2 \text{ en la primera, elevamos la}\\ &\text {segunda al cuadrado y suatituimos }x^2\\ &\\ &x^2= a+y^2\\ &4x^2y^2=b^2\\ &4(a+y^2)y^2=b^2\\ &4y^4+4ay^2-b^2=0\\ &\\ &y^2 =\frac{-4a\pm \sqrt{16a^2+16b^2}}{8}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ &\\ &\text{La respuesta con el - no sirve ya que }y^2 \text{ sería negativo}\\ &\\ &y = \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ &\\ &x^2= a+y^2=a+\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ &\\ &\\ &x=\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y con esta teoría ya podemos calcular las raíces cuadradas

$$\begin{align}&x=\sqrt{\frac 12 +\frac{\sqrt 7}{2}i }= \\ &\\ &\sqrt{\frac{\frac 12+\sqrt{\frac 14+\frac 74}}{2}}+ i \sqrt{\frac{-\frac 12+\sqrt{\frac 14+\frac 74}}{2}}=\\ &\\ &\frac{\sqrt{1+\sqrt 8}}{2}+\frac{\sqrt{-1+\sqrt 8}}{2}i\end{align}$$

Y la otra raíz cuadrada es eso mismo pero con signo menos en las dos partes.

Y las raíces cuadradas de la otra y son las mismas. Si te fijas la fórmula depende de b^2

Luego el resultado es el mismo. Incluso aunque se cambiará el signo de a también daría las mismas.

Resumiendo hay dos soluciones de la ecuación y son la que ya puse arriba y su opuesta.

Y eso es todo.