Integral(2x^3+x^2+4/(x^2+4)^2)dx por el método de fracciones simples

Pues todo consiste en descomponer la fracción como suma de fracciones más simples que se sabe integrar.

Aquí se usa el método de Hermite que es más complicado:

Las raíces reales simples se descomponen en de igual manera que en el método habitual

a/(x-xo) + b/(x-x1) + ...

Las raices complejas simples también de la misma forma:

(mx+n)/[(x-xo)^2+(x1)^2] + (px+q)/[(x-x2)^2+(x3)^2] +....

Las raices reales múltiples se ponen como si fueran reales simples

a/(x-xo) + b/(x-x1) + ...

Las raíces complejas múltiples se ponen como si fueran complejas simples

(mx+n)/[(x-xo)^2+(x1)^2] + (px+q)/[(x-x2)^2+(x3)^2] +....

Y depués se pone una derivada de un cociente que tiene por denominador los factores de las raices multiples disminuidos en una unidad y como numerador un polinomio un grado menor que el denominador.

Una vez derivado ese término y puesto el denominador común igual al original se calculan las incógnitas.

La verdad que es complicado te pongo un ejemplo pero sin resolver

$2x^2+3/[(x-1)(x-2)(x-3)^3·(x-4)^2·(x^2+4)(x^2+16)^2·(x^2+25)^3 dx

La descomposición será

a/(x-1) + b/(x-2) + c/(x-3) + d/(x-4) + (ex+f)/(x^2+4) + (gx+h)/(x^2+16) + (ix+j)/(x^2+25) + derivada de (kx^8+lx^7+mx^6+nx^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t) / [(x-3)^2·(x-4)·(x^2+16)·(x^2+25)^2]

Se derivaría esa superfracción del final y pondríamos denominador común y resolveríamos, es algo imposible de hacer a mano.

Vamos con nuestra integral que por suerte es más sencilla:

$(2x^3+x^2+4)dx / (x^2+4)^2 =

Se pone la raíz múltiple compleja como si fuese simple. En la descomposición de una raíz simple compleja se ponía arriba un polinomio de grado 1

(ax+b)/(x^2+4)

El término característico tiene las raices dobles con un exponente un grado menos en el denominador y en el numerador un polinomio de un grado menos que el que sale en el denominador.

(cx+d)/(x^2+4)

Y este término hay que derivarlo

[c(x^2+4) - 2x(cx+d)]/(x^2+4)^2 =

(cx^2 + 4c - 2cx^2 - 2dx) /(x^2+4)^2 =

(-cx^2 - 2dx + 4c) / (x^2+4)^2

Hay que sumar el término anterior y el característico y lo que salgaes lo que habrá que integrar cuando hayamos calculado a, b, c, d

(ax+b)/(x^2+4) + (-cx^2 - 2dx + 4c) / (x^2+4)^2

Ponemos denominador común

[(ax+b)(x^2+4) - cx^2 - 2dx + 4c] / (x^2+4)^2 =

(ax^3 + bx^2 + 4ax + 4b - cx^2 - 2dx + 4c) / (x^2+4)^2 =

[ax^3 + (b-c)x^2 + (4a-2d)x + 4b + 4c] / (x^2+4)^2

Y ya tenemos puesta la descomposición de forma que los numeradores deben coincidir y podemos igualar los coeficientes

a = 2

b-c = 1

4a-2d = 0 ==>8-2d = 0 ==> d = 4

4b+4c = 4 ==> b+c = 1

Sumamos segunda y cuarta

2b = 2 ==> b=1

1-c=1 ==> c = 0

Luego la descomposición en sumas de fracciones es

$(2x+1)dx/(x^2+4) - $2·4·xdx/(x^2+4)^2 =

$2xdx/(x^2+4) + $dx/(x^2+4) - 8$xdx/(x^2+4)^2 =

ln(x^2+4) + (1/2)arctg(x/2) + 8 (x^2+4)^(-1)·(1/2) =

ln(x^2+4) + (1/2)arctg(x/2) + 4/(x^2+4) + C

Y eso es todo, solo tuve un fallo pero ya está corregido y esa es la integral y está comprobado que está bien.