Problemas de área y apotemas

El polígono regular está inscrito en una circunferencia, el centro es el punto (0,0) y lo hemos girado de forma que el lado que cae a la derecha está en vertical, de modo que la mitad está por encima del eje X y la mitad por debajo, dicho de otra forma, simétrico respecto del eje X. Si haces un sencillo dibujo lo verás todo claro.

Tomamos el triangulo que forma el eje X, la mitad del lado que va hacia arriba y el radio que hace de hipotenusa. Es un triángulo rectángulo cuyo ángulo en el centro es 360 entre el numero de lados y entre 2. Y el cateto vertical del triángulo mide la mitad del lado del polígono y el cateto horizontal es el apotema del polígono.

Y usaremos la fórmula trigonométrica del la tangente que dice

Tangente = (cateto opuesto) / (cateto adyacente)

que se traduce en

Tangente[360/(2n)] = (mitad del lado) / apotema

luego

apotema = (mitad del lado) / Tangente[360/2n)]

1) La mitad del lado es 2 cm y el ángulo es 360/(2·5) = 360/10=36º

Aplicamos la fórmula

apotema = 2 / tg36º = 2 / 0.726542528 = 2.752763841 cm

Ahora tomas los decimales que quieras por ejemplo 2.75 cm

2) El heptágono tiene 7 lados, luego cada lado mide 31.5/7 = 4.5 cm

Y la mitad del lado es 2.25 cm

El ángulo es 360/(2·7) = 360/14 = 180/7

Lo dejamos así, ya meteremos esa expresión en la calculadora o se calcula antes

apotema = 2.25 / tg(180/7) = 2.25 / 0.481574746188 = 4.672173142 cm

Redondeamos a 4.67 cm

3) La mitad del lado es 5.5/2 = 2.75

El ángulo 360/(2·10) = 360 / 20 = 18º

apotema = 2.75 / tg18º = 2.75 / 0.3249196962 = 8.463629727 cm

Redondeamos a 8.46 cm

Y eso es todo.